解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=r(1-a_n) $$

は $a_n$ に関する一次の漸化式である。まず、この漸化式の不動点

$$ \alpha=r(1-\alpha) $$

を求めて $a_n-\alpha$ を考えると、等比数列に帰着できる。

また、無限級数については、一般項を用いて等比級数に分解するのが最も処理しやすい。

解法1

不動点 $\alpha$ を

$$ \alpha=r(1-\alpha) $$

で定めると、

$$ \alpha=\frac{r}{1+r} $$

である。

ここで

$$ b_n=a_n-\frac{r}{1+r} $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+1}-\frac{r}{1+r} \\ &=r(1-a_n)-\frac{r}{1+r} \\ &=r\left(1-a_n-\frac{1}{1+r}\right) \\ &=-r\left(a_n-\frac{r}{1+r}\right) \\ &=-rb_n \end{aligned} $$

となる。したがって ${b_n}$ は初項

$$ b_1=a_1-\frac{r}{1+r} =\frac{1}{1+r}-\frac{r}{1+r} =\frac{1-r}{1+r} $$

公比 $-r$ の等比数列であるから、

$$ b_n=\frac{1-r}{1+r}(-r)^{n-1} $$

である。よって

$$ a_n=\frac{r}{1+r}+\frac{1-r}{1+r}(-r)^{n-1} =\frac{r+(1-r)(-r)^{n-1}}{1+r} $$

となる。これより （1） の答えは

$$ a_n=\frac{r+(1-r)(-r)^{n-1}}{1+r} $$

である。

次に （2） を求める。$0<r<1$ より $(-r)^{n-1}\to 0$ だから、

$$ \lim_{n\to\infty}a_n =\frac{r}{1+r} $$

である。

続いて （3） を考える。

**(i)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$

について、一般項 $a_n$ は

$$ a_n=\frac{r}{1+r}+\frac{1-r}{1+r}(-r)^{n-1} $$

であり、$(-r)^{n-1}\to 0$ だから

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{r}{1+r}>0 $$

である。無限級数が収束するためには一般項が $0$ に収束することが必要であるが、ここではそうならない。したがって

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$

は発散する。しかも各項は正で、極限が正なので、部分和は $+\infty$ に発散する。

**(ii)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n} $$

について、一般項を代入すると

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n} &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\left(\frac{r}{1+r}+\frac{1-r}{1+r}(-r)^{n-1}\right) \\ &=\frac{r}{1+r}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} +\frac{1-r}{1+r}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-r)^{n-1}}{2^n} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1 $$

であり、また

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-r)^{n-1}}{2^n} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{r}{2}\right)^{n-1} $$

である。$0<r<1$ より $\left|-\frac{r}{2}\right|<1$ だから、この等比級数は収束し、

$$ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{r}{2}\right)^{n-1} =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{r}{2}} =\frac{1}{2+r} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n} &=\frac{r}{1+r}+\frac{1-r}{(1+r)(2+r)} \\ &=\frac{r(2+r)+(1-r)}{(1+r)(2+r)} \\ &=\frac{r^2+r+1}{(1+r)(2+r)} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の核心は、漸化式の不動点 $\frac{r}{1+r}$ を引くことである。これにより一次の非同次漸化式が等比数列に変わり、一般項と極限が一気に求まる。

また、無限級数では、（i） は一般項が $0$ に行かないことを見抜けばよく、（ii） は一般項をそのまま使って等比級数の和に分解するのが標準的な処理である。

答え

**(1)**

$$ a_n=\frac{r+(1-r)(-r)^{n-1}}{1+r} $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{r}{1+r} $$

**(3)**

**(i)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n $$

は発散する。

**(ii)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n} $$

は収束し、その和は

$$ \frac{r^2+r+1}{(1+r)(2+r)} $$

である。