解説

方針・初手

各段階で「1本の辺が、長さが $\dfrac13$ の辺4本に置き換わる」と見ると、辺の本数と1辺の長さがすぐ追える。

面積は、$D_{n-1}$ から $D_n$ へ移るときに各辺の外側に付け加わる正三角形の面積を足していけばよい。

解法1

まず、$D_n$ の辺の本数を $N_n$、その1辺の長さを $l_n$ とする。

$D_0$ は1辺の長さが $a$ の正三角形であるから、

$$ N_0=3,\qquad l_0=a $$

である。

各辺は毎回、長さが元の $\dfrac13$ の辺4本に置き換わるので、

$$ N_n=4N_{n-1},\qquad l_n=\frac13 l_{n-1} $$

となる。よって、

$$ N_n=3\cdot 4^n,\qquad l_n=\frac{a}{3^n} $$

である。

（1） 周の長さ $L_n$

周の長さは「辺の本数 $\times$ 1辺の長さ」であるから、

$$ L_n=N_n l_n =3\cdot 4^n \cdot \frac{a}{3^n} =3a\left(\frac43\right)^n $$

となる。

（2） 面積 $S_n$

まず初期値は、正三角形 $D_0$ の面積より

$$ S_0=\frac{\sqrt3}{4}a^2 $$

である。

次に、$D_{k-1}$ から $D_k$ を作るときに増える面積を考える。

$D_{k-1}$ の各辺の長さは $\dfrac{a}{3^{k-1}}$ であり、その3等分した中央部分 $PQ$ の長さは

$$ \frac13\cdot \frac{a}{3^{k-1}}=\frac{a}{3^k} $$

である。したがって、このとき各辺の外側に付け加える正三角形の1つあたりの面積は

$$ \frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{a}{3^k}\right)^2 $$

である。

また、$D_{k-1}$ の辺の本数は

$$ N_{k-1}=3\cdot 4^{k-1} $$

であるから、この段階で増える面積を $\Delta S_k$ とおくと

$$ \Delta S_k =3\cdot 4^{k-1}\cdot \frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{a}{3^k}\right)^2 =\frac{\sqrt3 a^2}{12}\left(\frac49\right)^{k-1} $$

となる。

よって、

$$ S_n=S_0+\sum_{k=1}^n \Delta S_k =\frac{\sqrt3}{4}a^2+\frac{\sqrt3 a^2}{12}\sum_{k=1}^n\left(\frac49\right)^{k-1} $$

である。等比数列の和を用いると、

$$ \sum_{k=1}^n\left(\frac49\right)^{k-1} =\frac{1-\left(\frac49\right)^n}{1-\frac49} =\frac{1-\left(\frac49\right)^n}{\frac59} =\frac95\left(1-\left(\frac49\right)^n\right) $$

だから、

$$ S_n =\frac{\sqrt3}{4}a^2+\frac{\sqrt3 a^2}{12}\cdot \frac95\left(1-\left(\frac49\right)^n\right) $$

すなわち、

$$ S_n =\frac{\sqrt3}{4}a^2+\frac{3\sqrt3}{20}a^2\left(1-\left(\frac49\right)^n\right) $$

これを整理すると、

$$ S_n =\frac{\sqrt3}{20}a^2\left(8-3\left(\frac49\right)^n\right) $$

となる。

（3） $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$

$\left(\dfrac49\right)^n\to 0$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n =\frac{\sqrt3}{20}a^2\cdot 8 =\frac{2\sqrt3}{5}a^2 $$

となる。

解説

この問題の本質は、各操作で

• 辺の本数は $4$ 倍になる
• 1辺の長さは $\dfrac13$ 倍になる

という自己相似の構造を見抜くことである。

周の長さはこの2つを掛ければ終わるので、毎回 $\dfrac43$ 倍になる。

面積は直接漸化式を立てるよりも、「各段階で新たに付け加わる正三角形の面積」を数えるのが自然である。増加分が等比数列になるので、和を取れば閉じた式が得られる。

答え

$$ \text{（1） }\quad L_n=3a\left(\frac43\right)^n $$

$$ \text{（2） }\quad S_n=\frac{\sqrt3}{20}a^2\left(8-3\left(\frac49\right)^n\right) $$

$$ \text{（3） }\quad \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{2\sqrt3}{5}a^2 $$