解説

方針・初手

数列

$$ s_n=\alpha^n+\beta^n $$

の収束条件を、根 $\alpha,\beta$ の条件としてまず整理する。

そのうえで、$\alpha+\beta=-p,\ \alpha\beta=q$ を用いて $(p,q)$ 平面上の条件に直す。

解法1

$s_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく。

まず、$s_n$ が収束するための $\alpha,\beta$ の条件を調べる。

1. $|\alpha|,|\beta|$ について

もし $|\alpha|>1$ または $|\beta|>1$ なら、$s_n$ は収束しない。

実際、たとえば $|\alpha|>|\beta|$ なら

$$ \frac{s_n}{\alpha^n}=1+\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n \to 1 $$

となるから、$s_n$ は $\alpha^n$ と同じ振る舞いをし、収束しない。

また $|\alpha|=|\beta|>1$ で実数かつ $\alpha\neq\beta$ なら $\beta=-\alpha$ であるが、そのとき

$$ s_{2n}=\alpha^{2n}+\beta^{2n}=2\alpha^{2n} $$

となって発散する。

したがって

$$ |\alpha|\leqq 1,\qquad |\beta|\leqq 1 $$

でなければならない。

2. $-1$ は許されない

もし $\alpha=-1$ なら、$\beta$ は実数で $|\beta|\leqq 1$ である。

このとき

$$ s_n=(-1)^n+\beta^n $$

となるが、$\beta^n$ が収束しても $(-1)^n$ が振動するので、$s_n$ は収束しない。

同様に $\beta=-1$ も不可能である。

3. $1$ は一方だけなら許される

$\alpha=1,\ \beta\in(-1,1)$ なら

$$ s_n=1+\beta^n \to 1 $$

で収束する。

同様に $\beta=1,\ \alpha\in(-1,1)$ もよい。

以上より、$s_n$ が収束するための必要十分条件は

**(i)**

$\alpha,\beta\in(-1,1)$ である

または

（ii） 一方が $1$、他方が $(-1,1)$ にある

ことである。

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4. （i） の場合を $(p,q)$ に直す

$f(x)=x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta)$ とする。

$\alpha,\beta\in(-1,1)$ なら

$$ f(1)=(1-\alpha)(1-\beta)>0 $$

より

$$ 1+p+q>0 $$

また

$$ f(-1)=(1+\alpha)(1+\beta)>0 $$

より

$$ 1-p+q>0 $$

さらに相異なる2実根をもつから

$$ p^2-4q>0 $$

である。

逆に、相異なる2実根をもち、しかも

$$ 1+p+q>0,\qquad 1-p+q>0 $$

なら、放物線 $y=f(x)$ は $x=\pm 1$ でともに正であり、2つの実根はともに $(-1,1)$ の中にある。

したがって （i） は

$$ p^2-4q>0,\qquad 1+p+q>0,\qquad 1-p+q>0 $$

と同値である。

これを整理すると

$$ -2<p<2,\qquad |p|-1<q<\frac{p^2}{4} $$

となる。

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5. （ii） の場合を $(p,q)$ に直す

一方の根が $1$、他方の根を $r\in(-1,1)$ とすると

$$ (x-1)(x-r)=x^2-(1+r)x+r $$

であるから

$$ p=-(1+r),\qquad q=r $$

よって

$$ p+q=-1,\qquad -1<q<1 $$

である。

これは $(p,q)$ 平面では

$$ q=-p-1,\qquad -2<p<0 $$

という線分である。

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以上より、求める存在範囲は

• 開領域

$$ -2<p<2,\qquad |p|-1<q<\frac{p^2}{4} $$

• およびその左側境界のうち

$$ q=-p-1,\qquad -2<p<0 $$

を加えたものである。

解説

この問題の本質は、数列 $\alpha^n+\beta^n$ の収束が「各根の絶対値」によって決まることである。

特に重要なのは、$-1$ が根に含まれると $(-1)^n$ のために振動してしまう一方、$1$ は他方の根が $(-1,1)$ にあれば許される点である。

そのあと $(\alpha+\beta,\alpha\beta)$ を $(p,q)$ に戻せばよい。 両根が $(-1,1)$ にある条件は、$f(1)>0,\ f(-1)>0$ と判別式 $>0$ で処理できる。

答え

点 $(p,q)$ の存在範囲は

$$ -2<p<2,\qquad |p|-1<q<\frac{p^2}{4} $$

で表される開領域と、その左側境界の一部

$$ q=-p-1,\qquad -2<p<0 $$

を合わせた部分である。

すなわち、放物線

$$ q=\frac{p^2}{4} $$

の下側、折れ線

$$ q=|p|-1 $$

の上側のうち、左枝 $q=-p-1\ (-2<p<0)$ だけは含み、右枝 $q=p-1$ は含まない。