解説

方針・初手

$x_1,\ x_2$ から $r\sin\theta$ と $r\cos\theta$ を求め，まず $r,\theta$ を確定する。

その後，$x_n=r^n\sin n\theta$ を具体化して，複素数の等比級数として和を計算する。

解法1

条件より

$$ x_1=r\sin\theta=\frac{\sqrt3}{4} $$

であり，また

$$ x_2=r^2\sin2\theta =2r^2\sin\theta\cos\theta =\frac{\sqrt3}{8} $$

である。

ここで $x_2/x_1$ をとると，

$$ \frac{x_2}{x_1} =\frac{2r^2\sin\theta\cos\theta}{r\sin\theta} =2r\cos\theta =\frac{1}{2} $$

となるから，

$$ r\cos\theta=\frac14 $$

を得る。

一方，

$$ r\sin\theta=\frac{\sqrt3}{4} $$

であるから，

$$ r^2=(r\sin\theta)^2+(r\cos\theta)^2 =\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2+\left(\frac14\right)^2 =\frac{3}{16}+\frac{1}{16} =\frac14 $$

より

$$ r=\frac12 $$

である。さらに

$$ \sin\theta=\frac{r\sin\theta}{r} =\frac{\sqrt3/4}{1/2} =\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\theta=\frac{r\cos\theta}{r} =\frac{1/4}{1/2} =\frac12 $$

となる。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より，

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

したがって

$$ x_n=\left(\frac12\right)^n\sin\frac{n\pi}{3} $$

となる。

ここで

$$ z=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) =\frac14+\frac{\sqrt3}{4}i $$

とおくと，

$$ z^n=\left(\frac12\right)^n\left(\cos\frac{n\pi}{3}+i\sin\frac{n\pi}{3}\right) $$

であるから，

$$ \operatorname{Im}(z^n)=\left(\frac12\right)^n\sin\frac{n\pi}{3}=x_n $$

である。よって

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n =\operatorname{Im}\left(\sum_{n=1}^{\infty}z^n\right) $$

となる。

しかも $|z|=\dfrac12<1$ なので等比級数は収束し，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}z^n=\frac{z}{1-z} $$

である。したがって

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n =\operatorname{Im}\left(\frac{z}{1-z}\right) $$

となる。

実際に計算すると，

$$ \frac{z}{1-z} =\frac{\frac14+\frac{\sqrt3}{4}i}{\frac34-\frac{\sqrt3}{4}i} =\frac{(1+\sqrt3,i)(3+\sqrt3,i)}{3^2+(\sqrt3)^2} =\frac{4\sqrt3,i}{12} =\frac{\sqrt3}{3}i $$

であるから，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n=\frac{\sqrt3}{3} $$

を得る。

解説

最初に $x_1,\ x_2$ をそのまま連立して扱うのではなく，$\dfrac{x_2}{x_1}$ を見るのが要点である。これにより $r\cos\theta$ が出てきて，すでに分かっている $r\sin\theta$ と合わせて $r,\theta$ が確定する。

和の計算では，$r^n\sin n\theta$ を複素数 $(re^{i\theta})^n$ の虚部とみると，等比級数に直して一気に処理できる。三角関数つきの無限級数で典型的な方針である。

答え

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n=\frac{\sqrt3}{3} $$