解説

方針・初手

（1） は二項定理を用いれば、3次以上の項がすべて $x>0$ により非負であることからただちに示せる。

（2） は $(1+n)^{1/n}=1+a_n$ とおいているので、これを $n$ 乗して $(1+a_n)^n=n+1$ を得る。ここに （1） の結果を $x=a_n$ として適用するのが初手である。

（3） は （2） の不等式から $a_n$ を評価し、$a_n\to 0$ を示せばよい。

解法1

**(1)**

二項定理より、

$$ (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots+x^n $$

である。

ここで $x>0$ であり、各係数も正であるから、$x^3$ 以上の項はすべて $0$ 以上である。したがって、

$$ (1+x)^n\geqq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 $$

が成り立つ。

---

**(2)**

$(1+n)^{1/n}=1+a_n$ とおく。

左辺は $1+n>1$ より $(1+n)^{1/n}>1$ であるから、

$$ a_n>0 $$

である。

また、両辺を $n$ 乗すると、

$$ (1+a_n)^n=n+1 $$

となる。

ここで （1） において $x=a_n$ とすると、

$$ (1+a_n)^n\geqq 1+na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2 $$

である。左辺は $n+1$ に等しいから、

$$ n+1\geqq 1+na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2 $$

すなわち、

$$ n\geqq na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2 $$

となる。両辺を $n$ で割れば、

$$ 1\geqq a_n+\frac{n-1}{2}a_n^2 $$

を得る。

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**(3)**

（2） より

$$ 1\geqq a_n+\frac{n-1}{2}a_n^2 $$

であり、$a_n>0$ だから特に

$$ 1\geqq \frac{n-1}{2}a_n^2 $$

が成り立つ。よって、

$$ a_n^2\leqq \frac{2}{n-1} $$

したがって、

$$ 0<a_n\leqq \sqrt{\frac{2}{n-1}} $$

となる。右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するから、はさみうちの原理により

$$ a_n\to 0 $$

である。

ところで $(1+n)^{1/n}=1+a_n$ であったから、

$$ \lim_{n\to\infty}(1+n)^{1/n} =\lim_{n\to\infty}(1+a_n) =1 $$

となる。

解説

この問題の要点は、二項定理で展開したときに $x^3$ 以上の項がすべて非負になることを利用する点にある。これにより （1） の不等式が得られ、そのまま （2） に代入できる。

さらに （2） では

$$ 1\geqq a_n+\frac{n-1}{2}a_n^2 $$

から、$a_n$ 自身よりも $a_n^2$ を評価するほうが極限には有効である。実際、

$$ a_n^2\leqq \frac{2}{n-1} $$

とできれば、$a_n\to 0$ がすぐに従う。定義 $(1+n)^{1/n}=1+a_n$ に戻すことで極限値が求まる。

答え

**(1)**

$$ (1+x)^n\geqq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 $$

**(2)**

$$ 1\geqq a_n+\frac{n-1}{2}a_n^2 $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}(1+n)^{1/n}=1 $$