解説

方針・初手

割る式は

$$ \begin{aligned} x^2-x+\frac{n-1}{n^2} &= \left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{n-1}{n}\right) \end{aligned} $$

と因数分解できる。

極限を求めるだけなら有限個の項は影響しないので、以下では $n\geq 3$ として考える。すると 2 つの異なる根 $x=\frac{1}{n},\ \frac{n-1}{n}$ を用いて、余り $a_nx+b_n$ を決定できる。

解法1

余りを

$$ R_n(x)=a_nx+b_n $$

とおくと、

$$ x^{2n}=P_n(x)\left(x^2-x+\frac{n-1}{n^2}\right)+R_n(x) $$

であるから、割る式の根を代入すれば

$$ R_n\left(\frac{1}{n}\right)=\left(\frac{1}{n}\right)^{2n},\qquad R_n\left(\frac{n-1}{n}\right)=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2n} $$

が成り立つ。したがって

$$ \frac{a_n}{n}+b_n=\frac{1}{n^{2n}}, $$

$$ \frac{n-1}{n}a_n+b_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n} $$

を得る。

この 2 式の差をとると

$$ \begin{aligned} \frac{n-2}{n}a_n &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}-\frac{1}{n^{2n}} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{n}{n-2} \left\{ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}-\frac{1}{n^{2n}} \right\} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \frac{n}{n-2}\to 1,\qquad \left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}\to e^{-2},\qquad \frac{1}{n^{2n}}\to 0 $$

より、

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=e^{-2} $$

である。

次に、

$$ b_n=\frac{1}{n^{2n}}-\frac{a_n}{n} $$

であるから、

$$ \frac{1}{n^{2n}}\to 0,\qquad \frac{a_n}{n}\to 0 $$

より

$$ \lim_{n\to\infty}b_n=0 $$

となる。

解説

この問題の要点は、余りが 1 次式であることを使い、割る式の根での値から余りを決めることである。

実際、割る式が

$$ \left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{n-1}{n}\right) $$

ときれいに因数分解できるので、余り $a_nx+b_n$ は 2 点

$$ \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^{2n}}\right),\qquad \left(\frac{n-1}{n},\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2n}\right) $$

を通る一次式である。したがって連立方程式を立てればよい。

極限計算では $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\to e^{-1}$ を使うのが本質であり、$\frac{1}{n^{2n}}$ は非常に速く $0$ に収束するため無視できる。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=e^{-2},\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=0 $$