解説

方針・初手

$f\bigl(4nx(1-x)\bigr)$ は、$4nx(1-x)\leqq 1$ のときだけ $4nx(1-x)$ となり、$4nx(1-x)>1$ では $0$ になる。

したがって、まず

$$ 4nx(1-x)\leqq 1 $$

を満たす $x$ の範囲を求め、その範囲で積分を計算すればよい。

解法1

$0\leqq x\leqq 1$ において、$4nx(1-x)\geqq 0$ であるから、定義より

$$ f\bigl(4nx(1-x)\bigr)= \begin{cases} 4nx(1-x) & \bigl(4nx(1-x)\leqq 1\bigr),\\ 0 & \bigl(4nx(1-x)>1\bigr). \end{cases} $$

よって

$$ n\int_0^1 f\bigl(4nx(1-x)\bigr),dx $$

を求めるには、

$$ 4nx(1-x)\leqq 1 $$

を満たす範囲だけ見ればよい。

この不等式を解くと

$$ 4x(1-x)\leqq \frac{1}{n} $$

すなわち

$$ 4x-4x^2\leqq \frac{1}{n} $$

であり、これを整理すると

$$ 4x^2-4x+\frac{1}{n}\geqq 0. $$

方程式

$$ 4x^2-4x+\frac{1}{n}=0 $$

の解は

$$ x=\frac{1\pm \sqrt{1-\frac{1}{n}}}{2} $$

である。ここで

$$ a_n=\frac{1-\sqrt{1-\frac{1}{n}}}{2} $$

とおくと、$0\leqq x\leqq 1$ における条件 $4nx(1-x)\leqq 1$ は

$$ 0\leqq x\leqq a_n,\qquad 1-a_n\leqq x\leqq 1 $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^1 f\bigl(4nx(1-x)\bigr),dx &= \int_0^{a_n}4nx(1-x),dx+\int_{1-a_n}^1 4nx(1-x),dx. \end{aligned} $$

$x(1-x)$ は $x=\frac12$ に関して対称であるから、2つの積分は等しい。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^1 f\bigl(4nx(1-x)\bigr),dx &= 2\int_0^{a_n}4nx(1-x),dx \\ 8n\int_0^{a_n}(x-x^2),dx. \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} n\int_0^1 f\bigl(4nx(1-x)\bigr),dx &= 8n^2\left(\frac{a_n^2}{2}-\frac{a_n^3}{3}\right). \end{aligned} $$

ここで $a_n$ の極限を調べる。 有理化すると

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{1-\sqrt{1-\frac{1}{n}}}{2} \\ \frac{\frac{1}{n}}{2\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)} \\ \frac{1}{2n\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}. \end{aligned} $$

よって

$$ na_n=\frac{1}{2\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}\to \frac14 \qquad (n\to\infty), $$

したがって

$$ n^2a_n^2\to \frac{1}{16},\qquad n^2a_n^3=(na_n)^2a_n\to 0. $$

以上より

$$ \begin{aligned} 8n^2\left(\frac{a_n^2}{2}-\frac{a_n^3}{3}\right) &= 4n^2a_n^2-\frac{8}{3}n^2a_n^3 \to 4\cdot \frac{1}{16}-0 &= \frac14. \end{aligned} $$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}n\int_0^1 f\bigl(4nx(1-x)\bigr),dx=\frac14. $$

解説

$f(t)$ は $0\leqq t\leqq 1$ の範囲では $t$、それを超えると $0$ になる関数である。したがって、積分の中身は「ほとんどの区間で $0$」になり、端に近いごく狭い部分だけが寄与する。

本問の核心は、$4nx(1-x)\leqq 1$ となる範囲を正確に取り出すことである。そこでは被積分関数が単なる二次式になるので、あとは積分して極限を取ればよい。

答え

$$ \frac14 $$