解説

方針・初手

$P_n$ は放物線 $y=x^2$ 上にあるので、$P_n=(x_n,x_n^2)$ とおく。

すると、直線 $P_nP_{n+1}$ の傾きは放物線上の2点の性質から $x_n+x_{n+1}$ と表せる。よって、与えられた条件は $x_n$ の漸化式に直せる。あとはその漸化式を解いて、$x_n$ が収束するかどうかを調べればよい。

解法1

$P_n=(x_n,x_n^2)$ とおく。

このとき、直線 $P_nP_{n+1}$ の傾きは

$$ \frac{x_{n+1}^2-x_n^2}{x_{n+1}-x_n}=x_n+x_{n+1} $$

である。問題の条件より

$$ x_n+x_{n+1}=\frac{1}{n(n+2)} \qquad (n=1,2,3,\dots) $$

を得る。

ここで

$$ u_n=(-1)^{n-1}x_n $$

とおくと、

$$ x_n=(-1)^{n-1}u_n,\qquad x_{n+1}=(-1)^n u_{n+1} $$

であるから、上の漸化式は

$$ (-1)^{n-1}u_n+(-1)^n u_{n+1}=\frac{1}{n(n+2)} $$

すなわち

$$ u_{n+1}-u_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)} $$

となる。

したがって、

$$ u_n=u_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k(k+2)} =x_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k(k+2)} $$

である。

ここで

$$ \frac{1}{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) $$

を用いると、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k(k+2)} =\frac12\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) $$

となる。右辺を整理すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) &= \left(-1+\frac12\right)-\frac{(-1)^n}{n}-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \end{aligned} $$

ゆえに

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k(k+2)} &= -\frac14-\frac{(-1)^n}{2n(n+1)} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ u_n=x_1-\frac14-\frac{(-1)^n}{2n(n+1)} $$

となり、

$$ \begin{aligned} x_n=(-1)^{n-1}u_n &= (-1)^{n-1}\left(x_1-\frac14\right)+\frac{1}{2n(n+1)} \end{aligned} $$

を得る。

ここで

$$ \frac{1}{2n(n+1)}\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

だから、奇数番目と偶数番目を分けてみると、

$$ x_{2m-1}\to x_1-\frac14,\qquad x_{2m}\to -\left(x_1-\frac14\right) \qquad (m\to\infty) $$

となる。

よって、$x_n$ が収束するのは

$$ x_1-\frac14=0 $$

すなわち

$$ x_1=\frac14 $$

のときに限る。

このとき

$$ x_n=\frac{1}{2n(n+1)}\to 0 $$

なので、

$$ P_n=(x_n,x_n^2)\to (0,0) $$

である。

一方、$x_1\neq \dfrac14$ のときは、奇数番目と偶数番目で極限が異なり、

$$ P_{2m-1}\to \left(a,a^2\right),\qquad P_{2m}\to \left(-a,a^2\right) \quad \left(a=x_1-\frac14\neq 0\right) $$

となるから、$P_n$ は1つの点には近づかない。

解説

放物線 $y=x^2$ 上の2点 $(x_n,x_n^2)$, $(x_{n+1},x_{n+1}^2)$ を結ぶ直線の傾きが $x_n+x_{n+1}$ になることが出発点である。ここに気づけば、問題は点列ではなく数列 $x_n$ の漸化式の問題に変わる。

ただし、この漸化式は $x_{n+1}=-x_n+\text{小さい項}$ という形なので、そのままでは交互に符号が変わる。そこで $(-1)^{n-1}$ を掛けて新しい数列 $u_n$ に直すのが自然である。すると普通の和の形になり、最終的に奇数番目と偶数番目が別々の点に近づくことが分かる。

したがって、一般には収束しないが、初項がちょうど打ち消し合う特別な場合 $x_1=\dfrac14$ のときだけ収束する。

答え

$P_n=(x_n,x_n^2)$ とすると

$$ x_n=(-1)^{n-1}\left(x_1-\frac14\right)+\frac{1}{2n(n+1)} $$

である。

したがって、

**(1)**

$x_1=\dfrac14$、すなわち $P_1=\left(\dfrac14,\dfrac1{16}\right)$ のときに限り、

$$ P_n\to(0,0) $$

となる。

**(2)**

$x_1\neq\dfrac14$ のときは、奇数番目と偶数番目で極限が異なるので、$P_n$ は1つの点に近づかない。