解説

方針・初手

平方根の差があるので、そのまま極限を取るのではなく、有理化して形を簡単にするのが基本である。 $\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}$ は分母に $n$ と同程度の大きさをもつ形に直せるので、$(3n+1)$ と組み合わせれば極限が求めやすくなる。

解法1

与式を

$$ \left(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}\right)(3n+1) $$

とする。

まず、平方根の差を有理化すると、

$$ \begin{aligned} \sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1} &= \frac{(n^2+3)-(n^2+1)}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}} \\ \frac{2}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}} \end{aligned} $$

である。したがって、与式は

$$ \frac{2(3n+1)}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}} $$

となる。

ここで $n\to\infty$ であり、十分大きい $n$ では $n>0$ だから、分子・分母を $n$ で割ると

$$ \frac{2\left(3+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} $$

を得る。

$n\to\infty$ とすると、

$$ \frac{1}{n}\to 0,\qquad \frac{1}{n^2}\to 0 $$

より、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{2\left(3+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} &= \frac{2\cdot 3}{1+1} =3 \end{aligned} $$

したがって、求める極限は $3$ である。

解法2

大きい $n$ に対して

$$ \begin{aligned} \sqrt{n^2+a} &= n\sqrt{1+\frac{a}{n^2}} \end{aligned} $$

と変形できる。したがって、

$$ \begin{aligned} \sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1} &= n\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right) \end{aligned} $$

である。

ここで、$x$ が十分小さいとき

$$ \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \approx \left(1+\frac{3}{2n^2}\right)-\left(1+\frac{1}{2n^2}\right) &= \frac{1}{n^2} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1} \approx n\cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} $$

である。

したがって、与式は

$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}\right)(3n+1) \approx \frac{1}{n}(3n+1) &= 3+\frac{1}{n} \end{aligned} $$

となるので、極限は

$$ 3 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}$ のような「近い値どうしの差」は、そのままでは扱いにくいが、有理化すると分母にまとめられて見通しがよくなることである。

特に、

$$ \begin{aligned} \sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1} &= \frac{2}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}} \end{aligned} $$

となれば、分母はおよそ $2n$ なので、全体はおよそ $\frac{1}{n}$ だとすぐ分かる。そこに $(3n+1)$ を掛けるので、極限値が定数 $3$ になる、という見通しを持てるとよい。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}\right)(3n+1)=3 $$