解説

方針・初手

$(1+a)^n$ が $a^n$ より大きく、$n\to\infty$ では $(1+a)^n$ が支配的になる。したがって、$(1+a)^n$ をくくり出して極限を調べる。

解法1

求める極限を

$$ L=\lim_{n\to\infty}\left\{a^n+(1+a)^n\right\}^{1/n} $$

とする。

$a>0$ より $1+a>a$ であるから、$(1+a)^n$ をくくると

$$ a^n+(1+a)^n=(1+a)^n\left\{\left(\frac{a}{1+a}\right)^n+1\right\} $$

である。したがって

$$ \left\{a^n+(1+a)^n\right\}^{1/n} =(1+a)\left\{\left(\frac{a}{1+a}\right)^n+1\right\}^{1/n} $$

となる。

ここで

$$ 0<\frac{a}{1+a}<1 $$

であるから、

$$ \left(\frac{a}{1+a}\right)^n\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

が成り立つ。よって

$$ \left(\frac{a}{1+a}\right)^n+1\to 1 $$

である。

さらに、十分大きい $n$ では

$$ 1<\left(\frac{a}{1+a}\right)^n+1<2 $$

であるから、

$$ 1<\left\{\left(\frac{a}{1+a}\right)^n+1\right\}^{1/n}<2^{1/n} $$

を得る。ここで $2^{1/n}\to 1$ なので、はさみうちの原理より

$$ \left\{\left(\frac{a}{1+a}\right)^n+1\right\}^{1/n}\to 1 $$

である。

したがって

$$ L=(1+a)\cdot 1=1+a $$

となる。

解説

$n$ 乗根の極限では、和の中で最も大きくなる項が支配的になることが多い。この問題では $a^n$ と $(1+a)^n$ を比べると、底が大きい $(1+a)^n$ が主役である。

そのため $(1+a)^n$ をくくり出し、残りが $1$ に近づくことを示せばよい。特に $\left\{1+\varepsilon_n\right\}^{1/n}\to 1$ を確実に処理するために、はさみうちを使うと論理が明確になる。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}\left\{a^n+(1+a)^n\right\}^{1/n}=1+a $$