解説

方針・初手

$x \to 0$ のときは $\sin x \to 0$ であり、また $f(x)=x^3+2x$ も $0$ に近づく。したがって、$\sin t \sim t$ を $t=f(x)$ に適用できる形へ分けると見通しがよい。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=x^3+2x $$

であるから、

$$ f(\sin x)=\sin^3 x+2\sin x $$

である。したがって、求める極限は

$$ \begin{aligned} \frac{f(\sin x)}{\sin f(x)} &= \frac{f(\sin x)}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{\sin f(x)} \end{aligned} $$

と変形できる。

まず、第1因子について計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{f(\sin x)}{f(x)} &= \frac{\sin^3 x+2\sin x}{x^3+2x} \\ \frac{\sin x(\sin^2 x+2)}{x(x^2+2)} \\ \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin^2 x+2}{x^2+2} \end{aligned} $$

である。ここで $x \to 0$ のとき

$$ \frac{\sin x}{x} \to 1,\qquad \sin^2 x \to 0,\qquad x^2 \to 0 $$

より、

$$ \frac{f(\sin x)}{f(x)} \to 1 \cdot \frac{2}{2}=1 $$

となる。

次に、第2因子については、$x \to 0$ のとき

$$ f(x)=x^3+2x \to 0 $$

であるから、$t=f(x)$ とおけば $t \to 0$ であり、

$$ \frac{f(x)}{\sin f(x)}=\frac{t}{\sin t} \to 1 $$

である。

以上より、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f(\sin x)}{\sin f(x)} &= \lim_{x\to 0}\frac{f(\sin x)}{f(x)} \cdot \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sin f(x)} \\ 1 \cdot 1 =1 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、分母に $\sin f(x)$ があるため、いきなり展開するよりも

$$ \begin{aligned} \frac{f(\sin x)}{\sin f(x)} &= \frac{f(\sin x)}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{\sin f(x)} \end{aligned} $$

と分けることで、$\dfrac{\sin t}{t} \to 1$ あるいは $\dfrac{t}{\sin t} \to 1$ をそのまま使える形にすることである。

$f(x)=x^3+2x$ は $x=0$ 付近では一次の項 $2x$ が支配的なので、$f(\sin x)$ と $f(x)$ はともにほぼ $2\sin x,\ 2x$ とみなせ、全体として極限は $1$ になる。

答え

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(\sin x)}{\sin f(x)}=1 $$