解説

方針・初手

極限

$$ \lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx}+x\right) $$

が有限の値をもつためには、$\sqrt{ax^2+bx}$ の主要項と $x$ の主要項が打ち消し合う必要がある。まず $x\to -\infty$ における主要項を見て $a$ を決め、その後に有理化して $b$ を求める。

解法1

$x\to -\infty$ では $|x|=-x$ であるから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{ax^2+bx} &= \sqrt{x^2\left(a+\frac{b}{x}\right)} \\ |x|\sqrt{a+\frac{b}{x}} \\ (-x)\sqrt{a+\frac{b}{x}} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \sqrt{ax^2+bx}+x &= -x\sqrt{a+\frac{b}{x}}+x \\ x\left(1-\sqrt{a+\frac{b}{x}}\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで $x\to -\infty$ のとき $\dfrac{b}{x}\to 0$ であるから、もし $\sqrt{a}\neq 1$ ならば

$$ 1-\sqrt{a+\frac{b}{x}}\to 1-\sqrt{a}\neq 0 $$

となり、$x\left(1-\sqrt{a+\frac{b}{x}}\right)$ は発散してしまう。よって極限が有限値 $-1$ になるためには

$$ \sqrt{a}=1 $$

すなわち

$$ a=1 $$

でなければならない。

そこで $a=1$ として、極限を計算する。

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+bx}+x &= \frac{(x^2+bx)-x^2}{\sqrt{x^2+bx}-x} \\ \frac{bx}{\sqrt{x^2+bx}-x} \end{aligned} $$

ここで $x\to -\infty$ では $-x>0$ なので、分母を $-x$ でくくると

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+bx} &= |x|\sqrt{1+\frac{b}{x}} \\ (-x)\sqrt{1+\frac{b}{x}} \end{aligned} $$

より

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+bx}-x &= -x\sqrt{1+\frac{b}{x}}-x \\ -x\left(\sqrt{1+\frac{b}{x}}+1\right) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+bx}+x &= \frac{bx}{-x\left(\sqrt{1+\frac{b}{x}}+1\right)} \\ -\frac{b}{\sqrt{1+\frac{b}{x}}+1} \end{aligned} $$

である。$x\to -\infty$ とすると

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+bx}+x\right) &= -\frac{b}{2} \end{aligned} $$

となる。これが $-1$ に等しいので

$$ -\frac{b}{2}=-1 $$

より

$$ b=2 $$

である。

以上より、

$$ a=1,\quad b=2 $$

となる。

解説

この問題の要点は、根号を含む式の極限ではまず最高次の項を見ることである。$\sqrt{ax^2+bx}$ は $x\to -\infty$ でおよそ $(-x)\sqrt{a}$ に等しいから、これと $x$ が打ち消し合うために $a=1$ が必要になる。

その後は有理化すれば定数極限に落ちる。最初から細かい計算に入るのではなく、「有限極限になるための条件」を先に押さえるのが重要である。

答え

$$ a=1,\quad b=2 $$