解説

方針・初手

円の中心は $(1,0)$、半径は $1$ であるから、点 $P$ は円周角ではなく中心角を用いて表すのが自然である。

弧 $\wideparen{OP}$ の長さを $\alpha$ とおくと、半径が $1$ なのでそのまま中心角にもなり、

$$ P=(1-\cos \alpha,\ \sin \alpha) \quad (\alpha>0) $$

と表せる。また、$\overline{OQ}=3\wideparen{OP}=3\alpha$ より

$$ Q=(-3\alpha,0) $$

である。

これにより、入射光線 $QP$ の傾き $m$ を $\alpha$ で表し、反射の公式から反射光線の傾き $n$ を求める。最後に、直線 $l:x+2y=4$ との交点 $T$ を求め、反射光線と $x$ 軸との交点 $R$ の $x$ 座標の極限を計算する。

解法1

直線 $l:x+2y=4$ の傾きは $-\dfrac12$ である。

（1） 反射光線の傾き $n$ を $m$ で表す

入射光線の傾きを $m$、反射光線の傾きを $n$ とする。

入射光線が $x$ 軸となす角を $\theta$、直線 $l$ が $x$ 軸となす角を $\phi$、反射光線が $x$ 軸となす角を $\psi$ とすると、反射の法則より

$$ \psi-\phi=-(\theta-\phi) $$

すなわち

$$ \psi=2\phi-\theta $$

である。

ここで

$$ \tan\theta=m,\qquad \tan\psi=n,\qquad \tan\phi=-\frac12 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \tan 2\phi &= \frac{2\tan\phi}{1-\tan^2\phi} \\ \frac{2\left(-\frac12\right)}{1-\left(-\frac12\right)^2} \\ -\frac43 \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} n=\tan(2\phi-\theta) &= \frac{\tan2\phi-\tan\theta}{1+\tan2\phi\tan\theta} \\ \frac{-\frac43-m}{1-\frac43m} \\ \frac{4+3m}{4m-3}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ n=\frac{4+3m}{4m-3} $$

である。

（2） 点 $R$ の $x$ 座標の極限

弧 $\wideparen{OP}$ の長さを $\alpha$ とおくと、

$$ P=(1-\cos\alpha,\ \sin\alpha),\qquad Q=(-3\alpha,0) $$

である。

したがって、入射光線 $QP$ の傾き $m$ は

$$ m = \frac{\sin\alpha-0}{(1-\cos\alpha)-(-3\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha+3\alpha} $$

となる。

よって $\alpha\to 0$ のとき

$$ m =

\frac{\sin\alpha/\alpha}{(1-\cos\alpha)/\alpha+3} \longrightarrow \frac{1}{3} $$

である。

したがって、（1） より

$$ \begin{aligned} n = \\ \frac{4+3m}{4m-3} \longrightarrow \frac{4+3\cdot \frac13}{4\cdot \frac13-3} &= \frac{5}{-\frac53} \\ -3. \end{aligned} $$

次に、入射光線の方程式は

$$ y=m(x+3\alpha) $$

である。これと $l:x+2y=4$ との交点を $T$ とすると、

$$ x+2m(x+3\alpha)=4 $$

より

$$ (1+2m)x=4-6m\alpha $$

したがって

$$ x_T=\frac{4-6m\alpha}{1+2m}. $$

また、

$$ \begin{aligned} y_T=m(x_T+3\alpha) &= m\left(\frac{4-6m\alpha}{1+2m}+3\alpha\right) \\ \frac{m(4+3\alpha)}{1+2m}. \end{aligned} $$

よって $\alpha\to 0$ のとき

$$ x_T\longrightarrow \frac{4}{1+2\cdot \frac13}=\frac{12}{5}, \qquad y_T\longrightarrow \frac{\frac13\cdot 4}{1+2\cdot \frac13}=\frac45. $$

反射光線は $T$ を通り、傾きが $n$ であるから、その方程式は

$$ y-y_T=n(x-x_T) $$

である。これが $x$ 軸、すなわち $y=0$ と交わる点を $R$ とすると、その $x$ 座標を $x_R$ として

$$ 0-y_T=n(x_R-x_T) $$

より

$$ x_R=x_T-\frac{y_T}{n}. $$

したがって

$$ \begin{aligned} x_R \longrightarrow \frac{12}{5}-\frac{\frac45}{-3} &= \frac{12}{5}+\frac{4}{15} \\ \frac{8}{3}. \end{aligned} $$

ゆえに、求める極限値は

$$ \frac{8}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、点 $P$ を直接 $x,y$ で追うのではなく、弧の長さをそのまま中心角 $\alpha$ とみなして扱うことである。半径が $1$ なので、

$$ P=(1-\cos\alpha,\ \sin\alpha),\qquad Q=(-3\alpha,0) $$

と自然に置ける。

また、反射については「入射角と反射角が等しい」を、角度の式

$$ \psi=2\phi-\theta $$

に直して傾きへ戻すのが典型的な処理である。ここで鏡となる直線 $l$ の傾きが $-\dfrac12$ であるため、$\tan 2\phi=-\dfrac43$ が効いてくる。

最後は、$P\to O$ に対応して $\alpha\to 0$ とし、$m\to \dfrac13$、$n\to -3$、さらに $T$ の座標の極限を追えばよい。

答え

**(1)**

$$ n=\frac{4+3m}{4m-3} $$

**(2)**

点 $R$ の $x$ 座標の極限値は

$$ \frac{8}{3} $$