解説

方針・初手

平方根の差の極限なので、そのままでは扱いにくい。したがって、共役な式を掛けて分母にまとめる。

このとき $x \to -\infty$ であるから、$\sqrt{x^2+\cdots}$ を $|x|$ でくくる際に $|x|=-x$ となる点に注意する。

解法1

求める極限を

$$ L=\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1}\right) $$

とする。

共役な式を用いて有理化すると、

$$ \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1} =\frac{(x^2+x+1)-(x^2+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1}} =\frac{x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1}} $$

となる。したがって、

$$ L=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1}} $$

である。

ここで、$x\to -\infty$ では十分大きい負の $x$ に対して $|x|=-x$ だから、

$$ \sqrt{x^2+x+1} =|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} =(-x)\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} $$

$$ \sqrt{x^2+1} =|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} =(-x)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} $$

と変形できる。これを代入すると、

$$ L=\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{(-x)\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)} $$

$$ =\lim_{x\to -\infty} \frac{-1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} $$

ここで $x\to -\infty$ とすると $\dfrac{1}{x}\to 0,\ \dfrac{1}{x^2}\to 0$ であるから、

$$ L=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、有理化したあとに平方根の中から $x^2$ をくくることである。

ただし $x\to -\infty$ なので $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ となる。この符号を落とすと答えを $\dfrac12$ と誤るので、そこが最重要の注意点である。

答え

$$ -\frac{1}{2} $$