基礎問題集
数学3 極限「極限」の問題12 解説
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解説
方針・初手
分子と分母にはそれぞれ和の公式が使える。まず
$$ 1+2+\cdots+n,\qquad 1^2+2^2+\cdots+n^2 $$
を公式で表し、そのあと約分して極限を求めるのが最も素直である。
解法1
和の公式より、
$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$
であり、
$$ 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
である。
したがって与えられた式は
$$ \begin{aligned} \frac{(1+2+\cdots+n)^3}{(1^2+2^2+\cdots+n^2)^2} &= \frac{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^3}{\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)^2} \end{aligned} $$
となる。
これを整理すると、
$$ \begin{aligned} \frac{\frac{n^3(n+1)^3}{8}}{\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36}} &= \frac{36}{8}\cdot \frac{n^3(n+1)^3}{n^2(n+1)^2(2n+1)^2} \\ &= \frac{9}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{(2n+1)^2} \end{aligned} $$
を得る。
よって
$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{(1+2+\cdots+n)^3}{(1^2+2^2+\cdots+n^2)^2} &= \frac{9}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{(2n+1)^2} \end{aligned} $$
である。
分子分母を $n^2$ で割ると、
$$ \begin{aligned} \frac{n(n+1)}{(2n+1)^2} &= \frac{1+\frac{1}{n}}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2} \end{aligned} $$
だから、
$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{(2n+1)^2} &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$
となる。
したがって求める極限は
$$ \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{8} $$
である。
解説
この問題の本質は、分子と分母をそれぞれ和の公式で具体的に表すことである。
$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},\qquad 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
を正確に使えば、あとは最高次の項の比を見る形に自然に落ちる。極限では、整理後に分子分母を $n^2$ で割ると見通しがよい。
答え
$$ \text{[ア]}=\frac{9}{8} $$