解説

方針・初手

$A=3\cdot 2^n$ の正の約数を具体的に並べれば、逆数の和は等比数列の和に帰着する。

$3$ と $2^n$ は互いに素であるから、$A$ の正の約数は $2^k\ (0\leqq k\leqq n)$ と $3\cdot 2^k\ (0\leqq k\leqq n)$ の形に尽くされる。したがって、それぞれの逆数を足し上げればよい。

解法1

$A=3\cdot 2^n$ の正の約数は

$$ 1,,2,,2^2,,\dots,,2^n,, 3,,3\cdot 2,,3\cdot 2^2,,\dots,,3\cdot 2^n $$

である。

よって、逆数の和 $S(n)$ は

$$ S(n)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}+\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3\cdot 2^k} $$

となる。

ここで第2項は第1項の $\frac13$ 倍であるから、

$$ S(n)=\left(1+\frac13\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k} =\frac43\sum_{k=0}^{n}\left(\frac12\right)^k $$

である。

等比数列の和の公式より、

$$ \sum_{k=0}^{n}\left(\frac12\right)^k =\frac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12} =2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) $$

したがって、

$$ S(n)=\frac43\cdot 2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) =\frac83\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) $$

すなわち、

$$ S(n)=\frac83-\frac{4}{3\cdot 2^n} $$

となる。

次に極限を求める。$n\to\infty$ のとき $\dfrac{1}{2^n}\to 0$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}S(n)=\frac83 $$

である。

解説

この問題の要点は、約数を漏れなく整理することである。

$3\cdot 2^n$ の約数は、$3$ を含まないものと含むものに分けると見通しがよい。すると逆数の和は

$$ \sum \frac{1}{2^k}+\sum \frac{1}{3\cdot 2^k} $$

となり、どちらも等比数列の和として処理できる。約数の個数を先に数えるよりも、実際に形を書き出してから和を作るのが安全である。

答え

$$ S(n)=\frac83\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) =\frac83-\frac{4}{3\cdot 2^n} $$

$$ \lim_{n\to\infty}S(n)=\frac83 $$