解説

方針・初手

収束するためには、まず $a_n$ の主要項が打ち消し合わなければならない。 $\sqrt{(n-1)(2n-1)}$ は $n$ に比例して大きくなるので、$a_n$ を $n$ で割って極限を調べ、$k$ を決定する。その後、その $k$ を代入して有理化により極限値を求める。

解法1

与えられた数列は

$$ a_n=\sqrt{(n-1)(2n-1)}+kn $$

である。

まず $a_n$ が収束すると仮定すると、有限な極限をもつ数列は $n\to\infty$ で $0$ に比べて十分小さいから

$$ \frac{a_n}{n}\to 0 $$

でなければならない。

そこで $\dfrac{a_n}{n}$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{n} &= \frac{\sqrt{(n-1)(2n-1)}}{n}+k \\ \sqrt{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)}+k \end{aligned} $$

となる。したがって $n\to\infty$ とすると

$$ \frac{a_n}{n}\to \sqrt{2}+k $$

である。

収束のためにはこれが $0$ でなければならないので、

$$ \sqrt{2}+k=0 $$

すなわち

$$ k=-\sqrt{2} $$

である。

次に、この値を代入して極限を求める。

$$ a_n=\sqrt{(n-1)(2n-1)}-\sqrt{2},n $$

これを有理化すると、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{(n-1)(2n-1)-2n^2}{\sqrt{(n-1)(2n-1)}+\sqrt{2},n} \\ \frac{-3n+1}{\sqrt{(n-1)(2n-1)}+\sqrt{2},n} \end{aligned} $$

となる。分子・分母を $n$ で割れば、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{-3+\frac{1}{n}}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{2}} \end{aligned} $$

であるから、$n\to\infty$ として

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} a_n &= \frac{-3}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} \\ \frac{-3}{2\sqrt{2}} \\ -\frac{3\sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$\sqrt{(n-1)(2n-1)}$ の増え方が $n$ と同程度であることを見抜くことである。 したがって、収束させるには $kn$ がその一次の成分をちょうど打ち消す必要がある。その判定には $\dfrac{a_n}{n}$ を見るのが最も直接的である。

$k$ を決めた後は、$\sqrt{(n-1)(2n-1)}-\sqrt{2},n$ の形になるので、有理化すれば定数極限に落ちる。ここで展開を無理に進めるより、有理化の方が簡潔で確実である。

答え

$$ k=-\sqrt{2} $$

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=-\frac{3\sqrt{2}}{4} $$