解説

方針・初手

$f(x)$ は $3,3^2,\dots,3^{2n}$ からの距離の和である。したがって、$f(x)$ は折れ線型の凸関数になる。

各区間での傾きを調べると、どこで減少から増加に切り替わるかが分かるので、まず $x$ を $3^m$ と $3^{m+1}$ の間において $f(x)$ の傾きを求めるのが初手である。

解法1

$x$ がどの $3^k$ とも一致しないとする。$x$ が区間

$$ 3^m<x<3^{m+1} $$

にあるとき、$3,3^2,\dots,3^m$ は $x$ より左側にあり、$3^{m+1},\dots,3^{2n}$ は $x$ より右側にある。

このとき

$$ |x-3^k|= \begin{cases} x-3^k & (1\le k\le m),\\ 3^k-x & (m+1\le k\le 2n) \end{cases} $$

であるから、

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{m}(x-3^k)+\sum_{k=m+1}^{2n}(3^k-x) $$

となる。よってこの区間での $x$ の係数は

$$ m-(2n-m)=2m-2n $$

である。したがって、区間 $3^m<x<3^{m+1}$ における $f(x)$ の傾きは $2m-2n$ である。

ここで、

• $m<n$ のとき $2m-2n<0$ なので $f(x)$ は減少する。
• $m=n$ のとき $2m-2n=0$ なので $f(x)$ は一定である。
• $m>n$ のとき $2m-2n>0$ なので $f(x)$ は増加する。

ゆえに、$f(x)$ が最小になるのは

$$ 3^n\le x\le 3^{n+1} $$

のときである。

次に、この区間での最小値 $a_n$ を求める。$x\in[3^n,3^{n+1}]$ ならば

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{n}(x-3^k)+\sum_{k=n+1}^{2n}(3^k-x) $$

であり、$x$ の項は打ち消し合うので

$$ a_n=\sum_{k=n+1}^{2n}3^k-\sum_{k=1}^{n}3^k $$

となる。

等比数列の和を用いると、

$$ \sum_{k=1}^{n}3^k=\frac{3^{n+1}-3}{2}, \qquad \sum_{k=n+1}^{2n}3^k=\frac{3^{2n+1}-3^{n+1}}{2} $$

であるから、

$$ a_n =\frac{3^{2n+1}-3^{n+1}}{2}-\frac{3^{n+1}-3}{2} =\frac{3^{2n+1}-2\cdot 3^{n+1}+3}{2} $$

すなわち

$$ a_n=\frac{3}{2}\left(3^n-1\right)^2 $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{9^n} &= \frac{3}{2}\cdot \frac{(3^n-1)^2}{9^n} \\ \frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)^2 \end{aligned} $$

より、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{9^n}=\frac{3}{2} $$

である。

解説

絶対値の和 $\sum |x-c_k|$ は、点 $c_k$ からの距離の総和であり、最小値は「中央値」で実現される。本問では点が

$$ 3,3^2,\dots,3^{2n} $$

の $2n$ 個あるので、中央の2点 $3^n,3^{n+1}$ の間全体で最小になる。

また、最小区間では左側の $n$ 個と右側の $n$ 個がちょうどつり合うため、$x$ の係数が消えて値が一定になる。この構造を見抜けると計算が非常に短くなる。

答え

**(1)**

$f(x)$ の値を最小にする実数 $x$ の集合は

$$ [,3^n,,3^{n+1},] $$

である。

**(2)**

$$ a_n=\frac{3}{2}(3^n-1)^2 $$

であり、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{9^n}=\frac{3}{2} $$

である。