解説

方針・初手

根号を含む極限であり、しかも $x \to -\infty$ では $3x$ と $\sqrt{9x^2+4x+1}$ が打ち消し合う形になる。したがって、そのまま眺めるのではなく、共役を用いて有理化するのが基本方針である。

解法1

求める極限を

$$ L=\lim_{x\to -\infty}\left(3x+1+\sqrt{9x^2+4x+1}\right) $$

とおく。

共役を用いて有理化すると、

$$ L =\lim_{x\to -\infty} \frac{\left(3x+1+\sqrt{9x^2+4x+1}\right)\left(3x+1-\sqrt{9x^2+4x+1}\right)}{3x+1-\sqrt{9x^2+4x+1}} $$

$$ =\lim_{x\to -\infty} \frac{(3x+1)^2-(9x^2+4x+1)}{3x+1-\sqrt{9x^2+4x+1}} $$

$$ =\lim_{x\to -\infty} \frac{2x}{3x+1-\sqrt{9x^2+4x+1}}. $$

ここで、$x\to -\infty$ であるから $x<0$ とみなせる。したがって

$$ \begin{aligned} \sqrt{9x^2+4x+1} &= |x|\sqrt{9+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} \\ -x\sqrt{9+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} \end{aligned} $$

である。

これを分母に代入すると、

$$ \begin{aligned} 3x+1-\sqrt{9x^2+4x+1} &= 3x+1+x\sqrt{9+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} \end{aligned} $$

# $$

x\left(3+\frac{1}{x}+\sqrt{9+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}\right).

$$

よって

$$

L =

\lim_{x\to -\infty} \frac{2x}{x\left(3+\frac{1}{x}+\sqrt{9+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)}

$$ \lim_{x\to -\infty} \frac{2}{3+\frac{1}{x}+\sqrt{9+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}}. $$

$x\to -\infty$ とすると $\dfrac{1}{x}\to 0$ であるから、

$$ L = \frac{2}{3+0+\sqrt{9}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. $$

解説

この問題のポイントは、$\sqrt{9x^2}=3|x|$ であって $3x$ ではないことである。特に $x\to -\infty$ では $|x|=-x$ となるため、

$$ \sqrt{9x^2+4x+1}\sim -3x $$

となる。したがって $3x+\sqrt{9x^2+4x+1}$ は大きな項どうしが打ち消し合う。こういう形では共役を掛けて差の形に直すのが典型処理である。

答え

$$ \frac{1}{3} $$