解説

方針・初手

分母の $\tan\theta-\sin\theta$ は、そのままでは扱いにくい。そこで $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて、$\sin\theta$ と $1-\cos\theta$ を含む形に変形する。

すると、基本極限 $\displaystyle \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ と $\displaystyle 1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}$ が使える形になる。

解法1

まず分母を変形する。

$$ \tan\theta-\sin\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-\sin\theta =\sin\theta\left(\frac{1}{\cos\theta}-1\right) =\sin\theta\cdot\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta} $$

したがって、

$$ \frac{\theta^3}{\tan\theta-\sin\theta} =\frac{\theta^3\cos\theta}{\sin\theta(1-\cos\theta)} =\cos\theta\cdot\frac{\theta}{\sin\theta}\cdot\frac{\theta^2}{1-\cos\theta} $$

ここで

$$ 1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2} $$

より、

$$ \frac{\theta^2}{1-\cos\theta} =\frac{\theta^2}{2\sin^2\frac{\theta}{2}} =2\left(\frac{\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\right)^2 $$

となる。$\theta\to 0$ のとき $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$ であるから、

$$ \lim_{\theta\to 0}\frac{\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}=1 $$

ゆえに、

$$ \lim_{\theta\to 0}\frac{\theta^2}{1-\cos\theta}=2 $$

また、

$$ \lim_{\theta\to 0}\cos\theta=1,\qquad \lim_{\theta\to 0}\frac{\theta}{\sin\theta}=1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{\theta\to 0}\frac{\theta^3}{\tan\theta-\sin\theta} &= 1\cdot 1\cdot 2=2 \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、分母を $\tan\theta-\sin\theta$ のまま見ずに、$\sin\theta$ と $1-\cos\theta$ の積に分解することである。

$\theta\to 0$ では、$\sin\theta$ は $1$ 次、$1-\cos\theta$ は $2$ 次の微小量なので、分母全体は $3$ 次の微小量になる。したがって分子の $\theta^3$ とつり合い、有限の値に収束する。

答え

$$ 2 $$