解説

方針・初手

分母の $\cos 3x-\cos x$ は、三角関数の差を積に直す公式

$$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

を使うと整理しやすい。すると分子の $\sin x$ と約でき、基本極限 $\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ に持ち込める。

解法1

分母に公式を用いると、

$$ \cos 3x-\cos x =-2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} =-2\sin 2x\sin x $$

である。

したがって、$x\neq 0$ かつ $x$ が $0$ に十分近いとき、

$$ \begin{aligned} \frac{x\sin x}{\cos 3x-\cos x} &= \frac{x\sin x}{-2\sin 2x\sin x} \\ -\frac{x}{2\sin 2x} \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \begin{aligned} -\frac{x}{2\sin 2x} &= -\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{\sin 2x} \\ -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{\sin 2x} \end{aligned} $$

であるから、$2x\to 0$ を用いて

$$ \lim_{x\to 0}\frac{2x}{\sin 2x}=1 $$

より、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{\cos 3x-\cos x} &= -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1 \\ -\frac{1}{4} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、分母の $\cos 3x-\cos x$ をそのまま扱わず、差積公式で $\sin 2x\sin x$ に変形することである。すると分子の $\sin x$ が消え、残りは $\displaystyle \frac{\sin t}{t}\to 1$ という基本極限に帰着する。

無理にロピタルの定理やテイラー展開を使わなくても、標準的な三角関数の公式だけで処理できる典型題である。

答え

$$ -\frac{1}{4} $$