解説

方針・初手

与えられている極限

$$ \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e $$

をそのまま使える形に変形する。

$$ 1+\frac{a}{x^2}=1+\frac{1}{x^2/a} $$

であるから、$t=\dfrac{x^2}{a}$ とおけば、与式は

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^3} &= \left\{\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right\}^{ax} \qquad \left(t=\frac{x^2}{a}\right) \end{aligned} $$

と見られる。あとは $\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\to e>1$ を用いて、全体が無限大に発散することを示す。

解法1

$a>0$ なので、$x\to\infty$ のとき

$$ t=\frac{x^2}{a}\to\infty $$

である。

したがって、与えられた事実より

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^2/a} &= \left(1+\frac{1}{t}\right)^t \to e \qquad (x\to\infty) \end{aligned} $$

となる。

ここで $e>1$ であるから、十分大きい $x$ について

$$ \left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^2/a}>\frac32 $$

とできる。

よって、そのような $x$ に対して

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^3} &= \left\{\left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^2/a}\right\}^{ax} \\ > \\ \left(\frac32\right)^{ax} \end{aligned} $$

が成り立つ。

しかも $a>0$ なので、$x\to\infty$ のとき $ax\to\infty$ であり、

$$ \left(\frac32\right)^{ax}\to\infty $$

である。したがって、はさむというより下から無限大に押し上げられるので、

$$ \left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^3}\to\infty $$

である。

解説

この問題の要点は、指数 $x^3$ をそのまま扱おうとせず、

$$ x^3=\frac{x^2}{a}\cdot ax $$

と分けることである。

すると

$$ \left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^2/a} $$

がちょうど

$$ \left(1+\frac{1}{t}\right)^t $$

型になり、既知の極限 $e$ を利用できる。さらに、その極限値が $e>1$ であることから、残った指数 $ax\to\infty$ によって全体は無限大へ発散する。

答え

$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x^2}\right)^{x^3} =\infty \qquad (a>0) $$