解説

方針・初手

分子は $e^u-1$ の形であり、$u\to 0$ のとき

$$ \frac{e^u-1}{u}\to 1 $$

を使うのが自然である。ここでは

$$ u=x\sin 3x $$

とおくと、$x\to 0$ で $u\to 0$ となるので、分子を $x\sin 3x$ で割って基本極限に持ち込む。

解法1

求める極限を

$$ L=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\sin 3x}-1}{x\log(1+x)} $$

とする。

$0$ の近くでは $\log(1+x)$ は定義され、また $x\sin 3x\to 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{e^{x\sin 3x}-1}{x\log(1+x)} &= \frac{e^{x\sin 3x}-1}{x\sin 3x}\cdot \frac{\sin 3x}{\log(1+x)} \end{aligned} $$

と変形できる。

したがって、

$$ L= \left(\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\sin 3x}-1}{x\sin 3x}\right) \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\log(1+x)}\right) $$

である。

第1因子は、$t=x\sin 3x\to 0$ とおけば

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{e^{x\sin 3x}-1}{x\sin 3x} &= \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t} =1 \end{aligned} $$

となる。

第2因子は

$$ \begin{aligned} \frac{\sin 3x}{\log(1+x)} &= \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{3x}{\log(1+x)} \end{aligned} $$

と分ければ、

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1 $$

より

$$ \lim_{x\to 0}\frac{3x}{\log(1+x)}=3 $$

である。よって

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\log(1+x)}=1\cdot 3=3 $$

となる。

以上から

$$ L=1\cdot 3=3 $$

である。

解法2

$e^t$ と $\log(1+x)$ の $x=0$ まわりの展開を用いてもよい。

まず、$x\to 0$ で

$$ \sin 3x=3x+o(x) $$

であるから、

$$ x\sin 3x=3x^2+o(x^2) $$

となる。

また、$t\to 0$ で

$$ e^t-1=t+o(t) $$

であるので、$t=x\sin 3x$ を代入すると

$$ e^{x\sin 3x}-1=x\sin 3x+o(x\sin 3x)=3x^2+o(x^2) $$

を得る。

一方、

$$ \log(1+x)=x+o(x) $$

より、

$$ x\log(1+x)=x^2+o(x^2) $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{e^{x\sin 3x}-1}{x\log(1+x)} &= \frac{3x^2+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}\to 3 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の核心は、分子をそのまま扱わず、$e^u-1$ の基本極限に落とすことである。指数関数や対数関数が絡む極限では、

$$ \frac{e^u-1}{u}\to 1, \qquad \frac{\log(1+x)}{x}\to 1, \qquad \frac{\sin x}{x}\to 1 $$

という標準極限をどう組み合わせるかが重要である。

解法1は最も標準的で、計算の見通しもよい。解法2は無限小の次数に注目する方法であり、近似の感覚を確認するのに有効である。

答え

$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x\sin 3x}-1}{x\log(1+x)}=3 $$