解説

方針・初手

まず $f(x)$ を微分して $f'(x)$ を簡単な形にする。 特に

$$ \log_e!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) $$

の微分は

$$ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $$

となるので、全体として大きく整理できる。

解法1

$f(x)$ を微分する。

まず

$$ f(x)=x\sqrt{x^2+1}+\log_e!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) $$

であるから、

$$ \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{x^2+1}\right) =\sqrt{x^2+1}+x\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} $$

である。

次に、

$$ \frac{d}{dx}\log_e!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) =\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} $$

であるが、分子を通分すると

$$ 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} $$

となるので、

$$ \frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} =\frac{\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $$

である。

したがって、

$$ f'(x)=\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} =\frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+1}} =2\sqrt{x^2+1} $$

を得る。

よって、

$$ \frac{f'(x)}{x} =\frac{2\sqrt{x^2+1}}{x} =2\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} $$

である。

ここで $x\to -\infty$ のとき $x<0$ であるから、

$$ \sqrt{x^2+1} =|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} =-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} $$

となる。したがって、

$$ \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} =\frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x} =-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \to -1 \qquad (x\to -\infty) $$

である。

ゆえに、

$$ \lim_{x\to -\infty}\frac{f'(x)}{x} =2\cdot(-1) =-2 $$

となる。

解説

この問題の要点は、まず $f(x)$ を微分して形を簡単にすることである。 特に

$$ \log_e!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) $$

の微分が

$$ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $$

になることに気づけば、

$$ f'(x)=2\sqrt{x^2+1} $$

と非常に簡単になる。

その後は $x\to -\infty$ なので $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+1/x^2}$ において $|x|=-x$ となることを正しく使えばよい。 負の無限大では $\sqrt{x^2+1}/x\to -1$ になる点が重要である。

答え

$$ \lim_{x\to -\infty}\frac{f'(x)}{x}=-2 $$

したがって、

**(ア)**

$=2$ である。