解説

方針・初手

与えられた等式

$$ \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(y) $$

に $f(x)=\sqrt{x^2+a^2}$ を代入して、まず $f'(y)$ を具体的に書く。 その後、左辺を有理化して $y$ について解けばよい。 最後の極限は、求めた $y$ の式を $x$ で割って調べる。

解法1

$f(x)=\sqrt{x^2+a^2}$ より、

$$ f(0)=a $$

であり、また

$$ f'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+a^2}} $$

である。

したがって、条件

$$ \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(y) $$

は

$$ \frac{\sqrt{x^2+a^2}-a}{x}=\frac{y}{\sqrt{y^2+a^2}} $$

となる。

ここで左辺を有理化すると、

$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{x^2+a^2}-a}{x} &= \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}+a} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}+a}=\frac{y}{\sqrt{y^2+a^2}} $$

を得る。

$x>0$ なので左辺は正であり、右辺も正だから $y>0$ である。よって両辺を2乗してよい。

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right)^2} &= \frac{y^2}{y^2+a^2} \end{aligned} $$

これを $y^2$ について解くと、

$$ x^2(y^2+a^2)=y^2\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right)^2 $$

すなわち

$$ \begin{aligned} x^2a^2 &= y^2\left\{\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right)^2-x^2\right\} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right)^2-x^2 &= x^2+a^2+2a\sqrt{x^2+a^2}+a^2-x^2 \\ 2a\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right) \end{aligned} $$

より、

$$ x^2a^2=2ay^2\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right) $$

したがって

$$ y^2=\frac{ax^2}{2\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right)} $$

となる。さらに

$$ x^2=\left(\sqrt{x^2+a^2}-a\right)\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right) $$

を用いると、

$$ y^2=\frac{a}{2}\left(\sqrt{x^2+a^2}-a\right) $$

よって $y>0$ であることから、

$$ y=\sqrt{\frac{a}{2}\left(\sqrt{x^2+a^2}-a\right)} $$

となる。

これで （1） は求まった。

次に （2） を求める。

上の式から

$$ \begin{aligned} \left(\frac{y}{x}\right)^2 &= \frac{a\left(\sqrt{x^2+a^2}-a\right)}{2x^2} \end{aligned} $$

である。ここで再び有理化すると、

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+a^2}-a &= \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}+a} \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{y}{x}\right)^2 &= \frac{a}{2\left(\sqrt{x^2+a^2}+a\right)} \end{aligned} $$

となる。$x\to +0$ のとき $\sqrt{x^2+a^2}\to a$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to +0}\left(\frac{y}{x}\right)^2 &= \frac{a}{2(a+a)} \\ \frac14 \end{aligned} $$

を得る。

また $x>0$ のとき $y>0$ なので $\dfrac{y}{x}>0$ である。したがって、

$$ \lim_{x\to +0}\frac{y}{x}=\frac12 $$

である。

解説

この問題の要点は、平均値の定理で現れる $y$ を、単に「存在する」と見るのではなく、具体的に解いてしまうことである。

$f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ と書ければ、条件式は代数的に処理できる。左辺の

$$ \frac{\sqrt{x^2+a^2}-a}{x} $$

を有理化するのが最初の決め手である。

また、極限では $y$ を直接扱うよりも $y^2$ の式から

$$ \left(\frac{y}{x}\right)^2 $$

を作ると計算が整いやすい。

答え

$$ \text{（1） }\quad y=\sqrt{\frac{a}{2}\left(\sqrt{x^2+a^2}-a\right)} $$

$$ \text{（2） }\quad \lim_{x\to +0}\frac{y}{x}=\frac12 $$