解説

方針・初手

平方根を含む極限で、そのまま $n \to \infty$ を代入すると不定形になる。したがって、共役をかけて有理化し、$n$ と分母の $\frac{1}{n}$ を処理しやすい形に直すのが基本方針である。

解法1

求める極限を

$$ L=\lim_{n\to\infty} n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2\right) $$

とおく。

このままでは扱いにくいので、共役な式 $\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2$ を用いて有理化する。

$$ \begin{aligned} n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2\right) &= n\cdot \frac{\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2\right)\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2\right)}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2} \end{aligned} $$

分子は平方差になって

$$ \left(4+\frac{1}{n}\right)-4=\frac{1}{n} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2\right) &= n\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2} \\ \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2} $$

ここで $n\to\infty$ のとき $\frac{1}{n}\to 0$ だから、

$$ L=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4} $$

したがって、極限値は

$$ \frac{1}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sqrt{\phantom{x}}$ を含む差をそのまま扱わず、有理化して不定形を解消することである。

特に

$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2\right)\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2\right) &= \left(4+\frac{1}{n}\right)-4 \end{aligned} $$

となって $\frac{1}{n}$ が現れ、前にある $n$ とちょうど打ち消し合うのが決定的である。平方根の差の極限では、まず共役をかける発想を持つことが重要である。

答え

$$ \frac{1}{4} $$