解説

方針・初手

内接・外接する正 $n$ 角形はいずれも、中心を頂点とする合同な三角形 $n$ 個に分けて面積を表せる。

したがって、まず $S_n,\ T_n$ を三角比で明示し、その差を $n \to \infty$ で評価する。角 $\dfrac{\pi}{n}$ を $x$ とおくと整理しやすい。

解法1

半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形を考える。中心角は $\dfrac{2\pi}{n}$ であるから、1つの三角形の面積は

$$ \frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{n} $$

である。よって

$$ S_n=\frac{n}{2}\sin \frac{2\pi}{n}. $$

次に、半径 $1$ の円に外接する正 $n$ 角形を考える。中心から各辺への垂線の長さは $1$ であり、1辺に対応する半分の直角三角形で見ると、半辺の長さは

$$ \tan \frac{\pi}{n} $$

である。したがって1辺の長さは $2\tan \dfrac{\pi}{n}$、周長は $2n\tan \dfrac{\pi}{n}$ となる。

外接正 $n$ 角形の面積は

$$ T_n=\frac{1}{2}\times (2n\tan \frac{\pi}{n}) \times 1 =n\tan \frac{\pi}{n} $$

である。

よって

$$ T_n-S_n =n\tan \frac{\pi}{n}-\frac{n}{2}\sin \frac{2\pi}{n}. $$

ここで

$$ x=\frac{\pi}{n} $$

とおくと、

$$ T_n-S_n =n\left(\tan x-\sin x\cos x\right) $$

である。さらに

$$ \tan x-\sin x\cos x =\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\cos x =\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-\cos x\right) =\sin x\cdot \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} =\frac{\sin^3 x}{\cos x} $$

より、

$$ n^2(T_n-S_n) =n^3\frac{\sin^3 x}{\cos x}. $$

ここで $x=\dfrac{\pi}{n}$ なので $x\to 0$ であり、

$$ n^3\frac{\sin^3 x}{\cos x} =\frac{(n\sin x)^3}{\cos x}. $$

しかも

$$ n\sin x =n\sin \frac{\pi}{n} =\pi \cdot \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} \to \pi $$

であり、また

$$ \cos x=\cos \frac{\pi}{n}\to 1 $$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} n^2(T_n-S_n) =\frac{\pi^3}{1} =\pi^3. $$

解説

内接正 $n$ 角形と外接正 $n$ 角形の面積は、ともに円の面積 $\pi$ に近づくが、その差は $n$ が大きいときおよそ $\dfrac{\pi^3}{n^2}$ の大きさで縮む。

この問題の要点は、面積そのものを極限で追うのではなく、

$$ S_n=\frac{n}{2}\sin \frac{2\pi}{n},\qquad T_n=n\tan \frac{\pi}{n} $$

と正確に表したうえで差を整理することである。特に

$$ \tan x-\sin x\cos x=\frac{\sin^3 x}{\cos x} $$

と変形できると、$\sin x \sim x$ をそのまま使えて処理が一気に簡潔になる。

答え

$$ \lim_{n\to\infty} n^2(T_n-S_n)=\pi^3 $$