解説

方針・初手

$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であるから、$\sin\theta,\cos\theta$ はともに正であり、しかも

$$ \sin\theta>\cos\theta $$

が成り立つ。したがって、分子分母を $\sin^n\theta$ で割って大小関係を用いれば極限がすぐに分かる。

解法1

$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より、

$$ 0<\cos\theta<\sin\theta $$

である。よって

$$ 0<\frac{\cos\theta}{\sin\theta}<1 $$

が成り立つ。

与式の分子分母を $\sin^n\theta$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{\cos^n\theta-\sin^n\theta}{\cos^n\theta+\sin^n\theta} &= \frac{\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^n-1}{\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^n+1} \end{aligned} $$

となる。

ここで $0<\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}<1$ であるから、

$$ \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^n \to 0 \qquad (n\to\infty) $$

である。したがって、

$$ \frac{\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^n-1}{\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^n+1} \to \frac{0-1}{0+1} =-1 $$

となる。

よって求める極限は

$$ -1 $$

である。

解説

この問題の本質は、$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ から $\sin\theta>\cos\theta>0$ を読み取ることである。

$n$ 乗の極限では、$0<r<1$ なら $r^n\to 0$ を使うのが基本である。本問では $\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ がまさにその形になっているので、$\sin^n\theta$ で割る方針が自然である。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos^n\theta-\sin^n\theta}{\cos^n\theta+\sin^n\theta} =-1 $$