解説

方針・初手

$f(x)$ は3次関数なので、

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$

とおける。

与えられた極限条件から、まず $x=0$ まわりでの係数を決め、次に $x=-2$ まわりの条件から残りの係数を決める。

解法1

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく。

まず、

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2 $$

より、

$$ \frac{f(x)}{x^2} =\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2} =ax+b+\frac{c}{x}+\frac{d}{x^2} $$

である。

この極限が有限の値 $2$ をもつためには、$\dfrac{c}{x}$ や $\dfrac{d}{x^2}$ が残っていてはならない。したがって

$$ c=0,\quad d=0 $$

である。

すると

$$ \frac{f(x)}{x^2}=ax+b $$

となるから、

$$ \lim_{x\to 0}(ax+b)=b=2 $$

より

$$ b=2 $$

を得る。

よって

$$ f(x)=ax^3+2x^2 $$

である。

次に、

$$ \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x+2}=4 $$

を用いる。

この極限が有限の値をもつためには、分母が $x+2$ で $x\to -2$ のとき $0$ になるので、分子 $f(x)$ も $x=-2$ で $0$ にならなければならない。したがって

$$ f(-2)=0 $$

である。

$f(x)=ax^3+2x^2$ を代入すると、

$$ a(-2)^3+2(-2)^2=0 $$

すなわち

$$ -8a+8=0 $$

より

$$ a=1 $$

となる。

したがって

$$ f(x)=x^3+2x^2=x^2(x+2) $$

である。

実際、

$$ \frac{f(x)}{x^2}=\frac{x^2(x+2)}{x^2}=x+2 $$

より

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2 $$

また、

$$ \frac{f(x)}{x+2}=\frac{x^2(x+2)}{x+2}=x^2 \quad (x\neq -2) $$

より

$$ \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x+2}=4 $$

となり、条件を満たす。

解説

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}$ が有限であることから、$f(x)$ は $x=0$ を少なくとも2重解にもつことが分かる。したがって $f(x)$ は $x^2$ を因数にもつ。

また、$\displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x+2}$ が有限であることから、$f(x)$ は $x=-2$ を解にもつので、$x+2$ も因数にもつ。

3次関数であることを合わせると、$f(x)$ は

$$ f(x)=k,x^2(x+2) $$

の形であると見てもよい。これを最初の条件に代入すれば $k=1$ と決まり、同じ結論に至る。

答え

$$ f(x)=x^3+2x^2 $$