解説

方針・初手

極限が有限の値 $1$ になるためには、分母 $x-2$ が $x\to 2$ で $0$ になることから、まず分子も $x=2$ で $0$ にならなければならない。

したがって最初に

$$ a\sqrt{2+7}+b=0 $$

を用いて $a,b$ の関係を求め、その後に極限値が $1$ になる条件を課せばよい。

解法1

与えられた極限は

$$ \lim_{x\to 2}\frac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2}=1 $$

である。

まず、$x\to 2$ のとき分母は $0$ に近づく。極限が有限に存在するためには、分子も $x=2$ で $0$ でなければならない。よって

$$ a\sqrt{2+7}+b=0 $$

すなわち

$$ 3a+b=0 $$

である。したがって

$$ b=-3a $$

となる。

これを分子に代入すると、

$$ a\sqrt{x+7}+b=a\sqrt{x+7}-3a=a(\sqrt{x+7}-3) $$

であるから、もとの極限は

$$ \lim_{x\to 2}\frac{a(\sqrt{x+7}-3)}{x-2} $$

となる。ここで有理化すると、

$$ \frac{a(\sqrt{x+7}-3)}{x-2} =\frac{a(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} =\frac{a((x+7)-9)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} $$

よって

$$ \frac{a(\sqrt{x+7}-3)}{x-2} =\frac{a(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} =\frac{a}{\sqrt{x+7}+3} $$

となる。したがって

$$ \lim_{x\to 2}\frac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2} =\lim_{x\to 2}\frac{a}{\sqrt{x+7}+3} =\frac{a}{3+3} =\frac{a}{6} $$

である。

これが $1$ に等しいので、

$$ \frac{a}{6}=1 $$

より

$$ a=6 $$

となる。さらに $b=-3a$ より

$$ b=-18 $$

である。

解説

この問題の要点は、分母が $x\to 2$ で $0$ になるとき、極限が有限なら分子も同時に $0$ にならなければならない、という基本事項である。

そのうえで $\sqrt{x+7}-3$ の形を有理化すれば $(x-2)$ が現れ、分母の $(x-2)$ と約分できる。平方根を含む極限では典型的な処理である。

答え

$$ a=6,\qquad b=-18 $$

したがって、

**(7)**

$6$、（8） $-18$ である。