解説

方針・初手

点 $P_n$ の座標を求めると、$\theta_n$ は直線 $OP_n$ の傾きから表せる。

また、$P_n$ は線分 $AB$ を $1:n$ に内分するので、$AP_n$ の長さ $l_n$ もすぐに求まる。 したがって、$\theta_n$ を $\arctan$ で表し、$\arctan x \sim x , (x \to 0)$ を用いれば極限が計算できる。

解法1

$P_n$ は線分 $AB$ を $1:n$ に内分する点であるから、

$$ AP_n : P_nB = 1 : n $$

である。内分点の公式より、$A(2,0),\ B(0,1)$ から

$$ \begin{aligned} P_n \left( \frac{n \cdot 2 + 1 \cdot 0}{n+1}, \frac{n \cdot 0 + 1 \cdot 1}{n+1} \right) &= \left( \frac{2n}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right) \end{aligned} $$

となる。

したがって、$\angle AOP_n = \theta_n$ は、$x$ 軸と直線 $OP_n$ のなす角であるから

$$ \begin{aligned} \tan \theta_n &= \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{2n}{n+1}} \\ \frac{1}{2n} \end{aligned} $$

よって

$$ \theta_n = \arctan \frac{1}{2n} $$

である。

次に、$AB$ の長さは

$$ AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5} $$

であり、$AP_n : P_nB = 1:n$ であるから

$$ l_n = AP_n = \frac{1}{n+1} AB = \frac{\sqrt{5}}{n+1} $$

となる。

以上より

$$ \begin{aligned} \frac{l_n}{\theta_n} &= \frac{\frac{\sqrt{5}}{n+1}}{\arctan \frac{1}{2n}} \\ \sqrt{5} \cdot \frac{2n}{n+1} \cdot \frac{\frac{1}{2n}}{\arctan \frac{1}{2n}} \end{aligned} $$

ここで、$n \to \infty$ のとき $\dfrac{1}{2n} \to 0$ であり、

$$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan x} = 1 $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{l_n}{\theta_n} &= \sqrt{5} \cdot 2 \cdot 1 \\ 2\sqrt{5} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$P_n$ を座標で表して $\theta_n$ を傾きから読むことである。

$\theta_n$ を直接扱うのではなく、

$$ \tan \theta_n = \frac{1}{2n} $$

と置けば、

$$ \theta_n = \arctan \frac{1}{2n} $$

となり、あとは $\arctan x \sim x$ を使うだけでよい。

また、$l_n$ は内分比から $AB$ の $\dfrac{1}{n+1}$ 倍になるので、座標計算を複雑にする必要はない。

答え

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{l_n}{\theta_n} = 2\sqrt{5} $$