解説

方針・初手

分子は $\sum_{k=n+1}^{2n} k^2$ であり、これは $\sum_{k=1}^{2n} k^2-\sum_{k=1}^n k^2$ と書き直せる。 したがって、平方和の公式

$$ 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

を用いれば、そのまま極限を計算できる。

解法1

分子を

$$ (n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(2n)^2 =\sum_{k=1}^{2n}k^2-\sum_{k=1}^{n}k^2 $$

と変形する。

よって、与えられた式は

$$ \begin{aligned} \frac{\sum_{k=1}^{2n}k^2-\sum_{k=1}^{n}k^2}{\sum_{k=1}^{n}k^2} &= \frac{\sum_{k=1}^{2n}k^2}{\sum_{k=1}^{n}k^2}-1 \end{aligned} $$

となる。

ここで平方和の公式より

$$ \sum_{k=1}^{2n}k^2=\frac{(2n)(2n+1)(4n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{\sum_{k=1}^{2n}k^2}{\sum_{k=1}^{n}k^2} &= \frac{(2n)(2n+1)(4n+1)}{n(n+1)(2n+1)} \\ \frac{2(4n+1)}{n+1} \end{aligned} $$

となる。したがって、もとの式は

$$ \begin{aligned} \frac{2(4n+1)}{n+1}-1 &= \frac{8n+2-(n+1)}{n+1} \\ \frac{7n+1}{n+1} \end{aligned} $$

である。

よって極限は

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{7n+1}{n+1}=7 $$

となる。

解説

この問題では、分子をそのまま扱うよりも、平方和の差に直すのが基本方針である。 $\sum_{k=1}^{2n}k^2$ と $\sum_{k=1}^n k^2$ の比に持ち込めば、公式を代入するだけで整理できる。

分子だけを展開して計算しようとすると煩雑になりやすいが、和の区間に注目すれば短く確実に処理できる。

答え

$$ 7 $$