基礎問題集
数学3 極限「極限」の問題30 解説
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解説
方針・初手
各項は
$$ \frac{1}{2^x}-\frac{1}{3^x}+\frac{1}{4^x}-\frac{1}{5^x}+\frac{1}{6^x}-\frac{1}{7^x} $$
であり、これは公比がそれぞれ $\frac12,\frac13,\dots,\frac17$ の等比級数の和に分解できる。 したがって、各級数を別々に計算して最後にまとめればよい。
解法1
求める値を $S$ とおくと、
$$ S=\sum_{x=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^x}-\frac{1}{3^x}+\frac{1}{4^x}-\frac{1}{5^x}+\frac{1}{6^x}-\frac{1}{7^x}\right) $$
である。
和の線形性より、
$$ S=\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{2^x} -\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{3^x} +\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{4^x} -\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{5^x} +\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{6^x} -\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{7^x} $$
となる。
ここで、$|r|<1$ のとき
$$ \sum_{x=1}^{\infty}r^x=\frac{r}{1-r} $$
であるから、
$$ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{n^x} =\frac{\frac1n}{1-\frac1n} =\frac{1}{n-1} $$
が成り立つ。
したがって、
$$ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{2^x}=1,\quad \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{3^x}=\frac12,\quad \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{4^x}=\frac13, $$
$$ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{5^x}=\frac14,\quad \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{6^x}=\frac15,\quad \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{7^x}=\frac16 $$
である。
よって、
$$ S=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16 $$
となる。通分して計算すると、
$$ S=\frac{60-30+20-15+12-10}{60} =\frac{37}{60} $$
である。
解説
この問題の要点は、無限級数全体を一つの複雑な形として見るのではなく、各底ごとの等比級数に分解することである。
$$ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}=\frac{1}{n-1} $$
を素早く使えると、計算は有限個の分数の加減に落ちる。 無限級数でも、まず「既知の型に分解できるか」を見るのが重要である。
答え
$$ \frac{37}{60} $$