解説

方針・初手

分子も分母も $x \to 2$ で $0$ になるので、そのまま代入しても求まらない。 そこで、分子・分母をそれぞれ有理化して $x-2$ を取り出し、約分してから極限を求める。

解法1

与えられた極限を

$$ \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{7-x}}{\sqrt{(1+x)(3-x)}-\sqrt{(1-x)(1-2x)}} $$

とする。

まず分子を有理化すると、

$$ \begin{aligned} \sqrt{3+x}-\sqrt{7-x} &= \frac{(3+x)-(7-x)}{\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}} \\ \frac{2x-4}{\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}} \\ \frac{2(x-2)}{\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}} \end{aligned} $$

である。

次に分母を有理化する。

$$ \begin{aligned} \sqrt{(1+x)(3-x)}-\sqrt{(1-x)(1-2x)} &= \frac{(1+x)(3-x)-(1-x)(1-2x)}{\sqrt{(1+x)(3-x)}+\sqrt{(1-x)(1-2x)}} \end{aligned} $$

ここで分子を整理すると、

$$ (1+x)(3-x)=3+2x-x^2 $$

$$ (1-x)(1-2x)=1-3x+2x^2 $$

より、

$$ \begin{aligned} (1+x)(3-x)-(1-x)(1-2x) &= (3+2x-x^2)-(1-3x+2x^2) \end{aligned} $$

# $$

# 2+5x-3x^2

# -(3x^2-5x-2)

-(3x+1)(x-2)

$$

したがって、

$$

\sqrt{(1+x)(3-x)}-\sqrt{(1-x)(1-2x)} ====================================

\frac{-(3x+1)(x-2)}{\sqrt{(1+x)(3-x)}+\sqrt{(1-x)(1-2x)}}

$$

となる。

よって元の式は

$$

\begin{aligned} \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{7-x}}{\sqrt{(1+x)(3-x)}-\sqrt{(1-x)(1-2x)}} &= \frac{\dfrac{2(x-2)}{\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}}}{\dfrac{-(3x+1)(x-2)}{\sqrt{(1+x)(3-x)}+\sqrt{(1-x)(1-2x)}}} \\ &= -\frac{2\left(\sqrt{(1+x)(3-x)}+\sqrt{(1-x)(1-2x)}\right)}{(3x+1)\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}\right)} \end{aligned}

$$

となる。ここで $x \to 2$ を代入すればよい。

$$

\sqrt{(1+2)(3-2)}=\sqrt{3},\qquad \sqrt{(1-2)(1-4)}=\sqrt{3}

$$

$$

\sqrt{3+2}=\sqrt{5},\qquad \sqrt{7-2}=\sqrt{5}

$$

であるから、

$$

\begin{aligned} \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{7-x}}{\sqrt{(1+x)(3-x)}-\sqrt{(1-x)(1-2x)}} &= -\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{3})}{(3\cdot 2+1)(\sqrt{5}+\sqrt{5})} \\ &= -\frac{4\sqrt{3}}{14\sqrt{5}} \\ &= -\frac{2\sqrt{3}}{7\sqrt{5}} \\ &= -\frac{2\sqrt{15}}{35} \end{aligned}

解説

この問題の要点は、分子と分母を別々に有理化すると、どちらにも $x-2$ が現れることである。

特に分母では

$$ (1+x)(3-x)-(1-x)(1-2x) $$

を正確に展開・整理し、

$$ 2+5x-3x^2=-(3x+1)(x-2) $$

と因数分解できるかが決め手である。 ここが見えれば、$0/0$ の不定形はただちに解消する。

答え

$$ -\frac{2\sqrt{15}}{35} $$