解説

方針・初手

$x \to \infty$ のとき $\dfrac{1}{x} \to 0$ であるから，角 $\dfrac{1}{x}$ は十分小さい。したがって，$1-\cos \theta$ の標準変形

$$ 1-\cos \theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2} $$

を用いて，$\sin t \sim t$ を使える形に直すのが自然である。

解法1

与式を

$$ x^2\left(1-\cos \frac{1}{x}\right) $$

とする。

ここで

$$ \begin{aligned} 1-\cos \frac{1}{x} &= 2\sin^2 \frac{1}{2x} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} x^2\left(1-\cos \frac{1}{x}\right) &= 2x^2\sin^2 \frac{1}{2x} \end{aligned} $$

となる。さらに，

$$ \begin{aligned} 2x^2\sin^2 \frac{1}{2x} &= 2\left(x\sin \frac{1}{2x}\right)^2 \end{aligned} $$

であり，

$$ \begin{aligned} x\sin \frac{1}{2x} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}} \end{aligned} $$

だから，

$$ \begin{aligned} 2\left(x\sin \frac{1}{2x}\right)^2 &= 2\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}} \right)^2 \end{aligned} $$

となる。

$x \to \infty$ のとき $\dfrac{1}{2x} \to 0$ であり，

$$ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 $$

を用いると，

$$ \lim_{x\to\infty} 2\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}} \right)^2 = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} $$

したがって，

$$ \lim_{x\to\infty}x^2\left(1-\cos \frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2} $$

である。

解法2

$t=\dfrac{1}{x}$ とおくと，$x\to\infty$ のとき $t\to 0$ である。したがって，

$$ \begin{aligned} x^2\left(1-\cos \frac{1}{x}\right) &= \frac{1-\cos t}{t^2} \end{aligned} $$

と書ける。

ここで $t\to 0$ における展開

$$ \cos t = 1-\frac{t^2}{2}+o(t^2) $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} 1-\cos t &= \frac{t^2}{2}+o(t^2) \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \frac{1-\cos t}{t^2} &= \frac{\frac{t^2}{2}+o(t^2)}{t^2} \\ \frac{1}{2}+o(1) \end{aligned} $$

となる。よって，

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2} &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。したがって，

$$ \lim_{x\to\infty}x^2\left(1-\cos \frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は，$x\to\infty$ をそのまま扱うのではなく，$\dfrac{1}{x}\to 0$ という「小さい角」の極限に直すことである。

特に

$$ 1-\cos \theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2} $$

の変形は頻出であり，$\sin t/t \to 1$ に接続できる。三角関数の極限では，無理に $\cos$ のまま扱わず，$\sin$ に変形できないかを見るのが基本である。

答え

$$ \frac{1}{2} $$