基礎問題集

数学3 極限「極限」の問題33 解説

数学3の極限「極限」にある問題33の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学3極限極限問題33

解説

$\log_2(1+x)$ は底が $2$ の対数であるから、自然対数に直して既知の極限

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1 $$

を用いるのが最も簡潔である。

対数の底の変換公式より、

$$ \log_2(1+x)=\frac{\log(1+x)}{\log 2} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{\log_2(1+x)}{x} &= \frac{1}{\log 2}\cdot \frac{\log(1+x)}{x} \end{aligned} $$

となる。

ここで $x \to 0$ とすると、

$$ \lim_{x \to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{\log_2(1+x)}{x} &= \frac{1}{\log 2}\cdot 1 \\ \frac{1}{\log 2} \end{aligned} $$

を得る。

この問題の要点は、底が $2$ の対数をそのまま扱わず、自然対数に直すことである。

$$ \log_a b=\frac{\log b}{\log a} $$

を使えば、標準的な極限

$$ \lim_{x \to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1 $$

に帰着できる。対数の底が変わると極限値も $\dfrac{1}{\log a}$ の形で変わることに注意するとよい。

$$ \frac{1}{\log 2} $$