解説

方針・初手

平方根どうしの差の極限であるから、そのままでは扱いにくい。共役な式を掛けて有理化し、分母・分子を $x$ で割って極限を求める。

解法1

求める極限を

$$ L=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2-x}\right) $$

とおく。

共役な式で有理化すると、

$$ L=\lim_{x\to\infty} \frac{(x^2+2x+2)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-x}} $$

である。分子を整理して、

$$ L=\lim_{x\to\infty} \frac{3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-x}} $$

を得る。

ここで $x\to\infty$ のとき、十分大きい $x$ について $x>0$ であるから、

$$ \sqrt{x^2+2x+2}=x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}, \qquad \sqrt{x^2-x}=x\sqrt{1-\frac{1}{x}} $$

と書ける。したがって、

$$ \begin{aligned} L=\lim_{x\to\infty} \frac{3x+2}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)} &= \lim_{x\to\infty} \frac{3+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}} \end{aligned} $$

となる。

$x\to\infty$ とすると、

$$ 3+\frac{2}{x}\to 3, \qquad \sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}\to 1, \qquad \sqrt{1-\frac{1}{x}}\to 1 $$

であるから、

$$ L=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2} $$

となる。

解説

この種の問題では、平方根どうしの差をそのまま扱うのではなく、有理化して分母を「和」に変えるのが基本である。さらに、$x\to\infty$ では $x$ が正になるので、平方根の中から $x^2$ をくくり出して $x\sqrt{\cdots}$ の形に直すと、極限がすぐに読める。

答え

$$ \frac{3}{2} $$