解説

方針・初手

分子・分母ともに $4^x$ が最も大きく増大するので、$4^x$ でくくって全体を整理するのが基本方針である。そうすると、$x \to \infty$ で消えていく項が明確になる。

解法1

与式を

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2^x+4^x}{3^x+4^x} $$

とする。

分子・分母をともに $4^x$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{2^x+4^x}{3^x+4^x} &= \frac{\left(\frac{2}{4}\right)^x+1}{\left(\frac{3}{4}\right)^x+1} \\ \frac{\left(\frac12\right)^x+1}{\left(\frac34\right)^x+1} \end{aligned} $$

となる。

ここで、$0<\dfrac12<1$ および $0<\dfrac34<1$ であるから、

$$ \left(\frac12\right)^x \to 0,\qquad \left(\frac34\right)^x \to 0 \qquad (x\to\infty) $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\frac{\left(\frac12\right)^x+1}{\left(\frac34\right)^x+1} &= \frac{0+1}{0+1} =1 \end{aligned} $$

よって、求める極限は $1$ である。

解法2

分子・分母に現れる指数関数のうち、$2^x,3^x,4^x$ では $4^x$ が最も速く増大することに注目する。

したがって $x\to\infty$ では、分子 $2^x+4^x$ は $4^x$ に、分母 $3^x+4^x$ も $4^x$ にそれぞれ支配される。実際、

$$ 2^x=o(4^x),\qquad 3^x=o(4^x) \qquad (x\to\infty) $$

であるから、

$$ 2^x+4^x \sim 4^x,\qquad 3^x+4^x \sim 4^x \qquad (x\to\infty) $$

となる。よって、

$$ \frac{2^x+4^x}{3^x+4^x}\to \frac{4^x}{4^x}=1 $$

である。

解説

この問題では、指数関数の増大の速さの比較が本質である。底が大きいほど増大が速いので、$2^x,3^x,4^x$ の中では $4^x$ が支配的になる。

したがって、最も標準的で確実な処理は $4^x$ で割る方法である。これにより、$\left(\dfrac12\right)^x,\left(\dfrac34\right)^x$ がともに $0$ に収束する形に直せるため、極限が直ちに求まる。

答え

$$ 1 $$