解説

方針・初手

$\sin x$ は常に $-1\leqq \sin x\leqq 1$ を満たす有界な関数である。一方、$x\to\infty$ では $x$ は無限大に発散するので、まず $\dfrac{\sin x}{x}$ が $0$ に収束することを押さえる。

次の極限は、その結果を用いるために分子・分母を $x$ で割るのが自然である。

解法1

まず

$$ -1\leqq \sin x\leqq 1 $$

であるから、$x>0$ に対して両辺を $x$ で割ると

$$ -\frac{1}{x}\leqq \frac{\sin x}{x}\leqq \frac{1}{x} $$

を得る。

ここで $x\to\infty$ のとき

$$ -\frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x}\to 0 $$

であるから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0 $$

となる。したがって $[\mathrm{シ}]=0$ である。

次に

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x-3\sin x}{2x+\sin x} $$

を求める。分子・分母を $x$ で割ると

$$ \begin{aligned} \frac{x-3\sin x}{2x+\sin x} &= \frac{1-3\frac{\sin x}{x}}{2+\frac{\sin x}{x}} \end{aligned} $$

となる。

すでに

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0 $$

を示しているので、極限の公式より

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\frac{1-3\frac{\sin x}{x}}{2+\frac{\sin x}{x}} &= \frac{1-3\cdot 0}{2+0} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。したがって $[\mathrm{ス}]=\dfrac{1}{2}$ である。

解説

この問題の要点は、$\sin x$ が振動していても有界であるという事実である。$\sin x$ 自体は収束しないが、$x\to\infty$ で分母の $x$ が大きくなるため、$\dfrac{\sin x}{x}$ は $0$ に収束する。

後半はその結果をそのまま利用する形であり、分子・分母を $x$ で割る処理が典型である。

答え

$$ [\mathrm{シ}]=0,\qquad [\mathrm{ス}]=\frac{1}{2} $$