解説

方針・初手

第1の極限は、よく知られた

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e $$

を用いて処理する。

第2の極限は、そのままでは扱いにくいので、対数の性質

$$ a\log b=\log b^a $$

を用いて、与えられた第1の極限に帰着させる。

解法1

まず、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n &= \left\{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right\}^{1/2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n &= \left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right)^{1/2} \\ e^{1/2} \\ \sqrt{e} \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ [⑤]=\sqrt{e} $$

である。

次に、

$$ L=\lim_{n\to\infty}(2n-1)^2\log\left(1+\frac{3}{4n(n-1)}\right) $$

とおく。

対数の性質より、

$$ L =

\lim_{n\to\infty} \log\left(1+\frac{3}{4n(n-1)}\right)^{(2n-1)^2} $$

である。

ここで

$$ \frac{3}{4n(n-1)}=\frac{1}{2\cdot \frac{2n(n-1)}{3}} $$

なので、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{3}{4n(n-1)}\right)^{(2n-1)^2} &= \left\{ \left(1+\frac{3}{4n(n-1)}\right)^{\frac{2n(n-1)}{3}} \right\}^{\frac{3(2n-1)^2}{2n(n-1)}} \end{aligned} $$

と書ける。

このとき、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{3}{4n(n-1)}\right)^{\frac{2n(n-1)}{3}} &= \left(1+\frac{1}{2m}\right)^m \quad \left(m=\frac{2n(n-1)}{3}\right) \end{aligned} $$

とみなせるから、第1の結果より

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{3}{4n(n-1)}\right)^{\frac{2n(n-1)}{3}} &= \sqrt{e} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{3(2n-1)^2}{2n(n-1)} &= \lim_{n\to\infty}\frac{3(4n^2-4n+1)}{2n^2-2n} \\ 6 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{3}{4n(n-1)}\right)^{(2n-1)^2} &= (\sqrt{e})^6 \\ e^3 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ L=\log e^3=3 $$

である。したがって、

$$ [⑥]=3 $$

である。

解説

第1の極限は、標準形

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$

に合わせるだけでよい。

第2の極限では、$\log(1+x)$ を直接展開しても求まるが、この問題では第1の極限を使う流れが自然である。指数をうまく調整して

$$ \left(1+\frac{1}{2m}\right)^m $$

の形に持ち込むのが要点である。

答え

$$ [⑤]=\sqrt{e},\qquad [⑥]=3 $$