解説

方針・初手

まず $g(x)$ を積分で具体的に求める。すると $h(x)=g(nx)-ng(x)$ も多項式として表せるので，その後は因数分解と微分によって極値と零点を調べればよい。最後は $(g_n)^n$ を指数関数の極限に直す。

解法1

$f(x)=x^2+x$ であるから，

$$ g(x)=6\int_0^x (t^2+t),dt $$

である。これを計算すると，

$$ g(x)=6\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)=2x^3+3x^2 $$

となる。したがって

$$ (\text{あ})=2,\qquad (\text{い})=3 $$

である。

次に，

$$ h(x)=g(nx)-ng(x) $$

より，

$$ h(x)={2n^3x^3+3n^2x^2}-n(2x^3+3x^2) $$

$$ =2n(n^2-1)x^3+3n(n-1)x^2 $$

となる。ゆえに

$$ (\text{う})=2n(n^2-1),\qquad (\text{え})=3n(n-1) $$

である。

さらに $h(x)$ を因数分解すると，

$$ h(x)=n(n-1)x^2{2(n+1)x+3} $$

となる。これより $h(x)=0$ となるのは

$$ x=0,\qquad x=-\frac{3}{2(n+1)} $$

のときであるから，

$$ (\text{き})=-\frac{3}{2(n+1)} $$

である。

次に極値を調べるために微分すると，

$$ h'(x)=6n(n-1)x{(n+1)x+1} $$

となる。したがって停留点は

$$ x=0,\qquad x=-\frac{1}{n+1} $$

である。

$h'(x)$ の符号を見ると，

**(i)**

$x<-\dfrac{1}{n+1}$ では $h'(x)>0$

**(ii)**

$-\dfrac{1}{n+1}<x<0$ では $h'(x)<0$

**(iii)**

$x>0$ では $h'(x)>0$

となるから，$x=-\dfrac{1}{n+1}$ で極大値をとる。よって

$$ (\text{お})=-\frac{1}{n+1} $$

である。

そのときの値 $g_n$ は

$$ g_n=h\left(-\frac{1}{n+1}\right) $$

$$ =n(n-1)\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)\left\{2(n+1)\left(-\frac{1}{n+1}\right)+3\right\} $$

$$ =n(n-1)\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)(-2+3) =\frac{n(n-1)}{(n+1)^2} $$

である。したがって

$$ (\text{か})=\frac{n(n-1)}{(n+1)^2} $$

となる。

最後に，

$$ (g_n)^n=\left(\frac{n(n-1)}{(n+1)^2}\right)^n =\left(\frac{1-\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}\right)^n =\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}} $$

であるから，

$$ \lim_{n\to\infty}(g_n)^n =\frac{e^{-1}}{e^2} =e^{-3} $$

となる。よって

$$ (\text{く})=e^{-3} $$

である。

解説

この問題の要点は，まず積分で $g(x)$ を明示し，その後は完全に多項式の問題として処理することである。

$h(x)$ は

$$ h(x)=n(n-1)x^2{2(n+1)x+3} $$

と因数分解できるので，零点はすぐ分かる。また極値は微分して符号変化を見ればよい。最後の極限は

$$ g_n=\frac{1-\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2} $$

の形に直すと，よく知られた

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e $$

をそのまま用いることができる。

答え

**(1)**

$$ (\text{あ})=2,\qquad (\text{い})=3,\qquad (\text{う})=2n(n^2-1),\qquad (\text{え})=3n(n-1) $$

**(2)**

$$ (\text{お})=-\frac{1}{n+1},\qquad (\text{か})=\frac{n(n-1)}{(n+1)^2},\qquad (\text{き})=-\frac{3}{2(n+1)} $$

**(3)**

$$ (\text{く})=e^{-3} $$