解説

方針・初手

直線 $x+y=t$ ごとに、領域 $D$ に入る整数点の個数を数える方針が自然である。

整数点では $x+y$ も整数になるので、$t=0,1,2,\dots,k$ について、直線 $x+y=t$ 上にある整数点の個数を求めて足し合わせればよい。

解法1

まず、直線 $x+y=t$ 上の点は $y=t-x$ と表せるから、条件

$$ \frac12 x \le y \le 2x $$

は

$$ \frac12 x \le t-x \le 2x $$

と書ける。これを $x$ について整理すると、

$$ \frac32 x \le t,\qquad t \le 3x $$

すなわち

$$ \frac{t}{3} \le x \le \frac{2t}{3} $$

となる。

したがって、直線 $x+y=t$ 上で条件を満たす整数点の個数を $N_t$ とすると、

$$ N_t=\left\lfloor \frac{2t}{3}\right\rfloor-\left\lceil \frac{t}{3}\right\rceil+1 $$

である。

$t$ を $3$ で割った余りによって分けると、$t=3q,,3q+1,,3q+2$ のとき

$$ \begin{aligned} N_{3q}&=\left\lfloor 2q\right\rfloor-\left\lceil q\right\rceil+1=q+1,\\ N_{3q+1}&=\left\lfloor 2q+\frac23\right\rfloor-\left\lceil q+\frac13\right\rceil+1=2q-(q+1)+1=q,\\ N_{3q+2}&=\left\lfloor 2q+\frac43\right\rfloor-\left\lceil q+\frac23\right\rceil+1=(2q+1)-(q+1)+1=q+1 \end{aligned} $$

を得る。

（1） $a_3,\ a_6$ を求める

$a_k$ は $t=0,1,\dots,k$ に対する $N_t$ の和である。

$t=0,1,2,3$ に対して

$$ N_0=1,\quad N_1=0,\quad N_2=1,\quad N_3=2 $$

だから、

$$ a_3=1+0+1+2=4 $$

である。

また、$t=0,1,2,3,4,5,6$ に対して

$$ N_0=1,\ N_1=0,\ N_2=1,\ N_3=2,\ N_4=1,\ N_5=2,\ N_6=3 $$

より、

$$ a_6=1+0+1+2+1+2+3=10 $$

である。

（2） $\frac12 x\le y\le 2x$ かつ $x+y=3m+1$ を満たす整数点の個数

このとき $t=3m+1$ であるから、

$$ N_{3m+1}=m $$

である。

実際、$x$ は

$$ \frac{3m+1}{3}\le x\le \frac{2(3m+1)}{3} $$

すなわち

$$ m+\frac13\le x\le 2m+\frac23 $$

を満たす整数であるから、

$$ x=m+1,m+2,\dots,2m $$

の $m$ 個である。

よって個数は

$$ m $$

である。

（3） $a_{3n}$ を求める

$t=0,1,\dots,3n$ に対して和を取る。

$t=3q$ の形は $q=0,1,\dots,n$ であり、そのときの個数は $q+1$ 個である。

$t=3q+1$ の形は $q=0,1,\dots,n-1$ であり、そのときの個数は $q$ 個である。

$t=3q+2$ の形は $q=0,1,\dots,n-1$ であり、そのときの個数は $q+1$ 個である。

したがって

$$ a_{3n}=\sum_{q=0}^{n}(q+1)+\sum_{q=0}^{n-1}q+\sum_{q=0}^{n-1}(q+1) $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} a_{3n} &=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{3n^2+3n+2}{2} \end{aligned} $$

となる。

（4） $\dfrac{a_{3n}}{S_{3n}}$ と $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{3n}}{S_{3n}}$ を求める

領域 $D$ は、直線

$$ y=\frac12 x,\qquad y=2x,\qquad x+y=k $$

で囲まれる三角形である。

直線 $x+y=k$ と $y=2x$ の交点は

$$ \left(\frac{k}{3},,\frac{2k}{3}\right) $$

であり、直線 $x+y=k$ と $y=\frac12 x$ の交点は

$$ \left(\frac{2k}{3},,\frac{k}{3}\right) $$

である。したがって、頂点は

$$ O(0,0),\quad A\left(\frac{k}{3},\frac{2k}{3}\right),\quad B\left(\frac{2k}{3},\frac{k}{3}\right) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_k &=\frac12 \left| \frac{k}{3}\cdot \frac{k}{3}-\frac{2k}{3}\cdot \frac{2k}{3}\right|\\ &=\frac12 \cdot \frac{k^2}{3} =\frac{k^2}{6} \end{aligned} $$

である。

よって $k=3n$ のとき

$$ S_{3n}=\frac{(3n)^2}{6}=\frac{3n^2}{2} $$

であり、（3） の結果を用いると

$$ \begin{aligned} \frac{a_{3n}}{S_{3n}} &= \frac{\frac{3n^2+3n+2}{2}}{\frac{3n^2}{2}} \\ \frac{3n^2+3n+2}{3n^2} \\ 1+\frac{1}{n}+\frac{2}{3n^2} \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{3n}}{S_{3n}}=1 $$

である。

解説

この問題の要点は、領域全体を直接数えるのではなく、直線 $x+y=t$ ごとに切って考えることである。

条件 $\frac12 x\le y\le 2x$ を $x+y=t$ と組み合わせると、$x$ の範囲が

$$ \frac{t}{3}\le x\le \frac{2t}{3} $$

と簡潔になるため、整数点の個数がすぐに求まる。あとは $t$ を $3$ で割った余りによって場合分けすれば規則性が見える。

答え

**(1)**

$$ a_3=4,\qquad a_6=10 $$

**(2)**

$$ m $$

**(3)**

$$ a_{3n}=\frac{3n^2+3n+2}{2} $$

**(4)**

$$ \frac{a_{3n}}{S_{3n}}=1+\frac{1}{n}+\frac{2}{3n^2},\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{a_{3n}}{S_{3n}}=1 $$