解説

方針・初手

まず、$y$軸との交点は

$$ P=(0,1) $$

である。

（1） では、垂直二等分線 $l$ が $y$ 軸と交わる点を $R=(0,s)$ とおき、$l$ の式から $s$ を求める。

（2） では、円 $C$ は点 $P$ で曲線 $K$ と共通な接線をもつので、その中心は $P$ における接線に垂直な直線上、すなわち $y$ 軸上にある。さらに円は $P,Q$ を通るから、中心は線分 $PQ$ の垂直二等分線上にもあり、結局その中心は $R$ に一致する。したがって半径は $PR$ である。

解法1

まず、点 $Q$ は

$$ Q=(t,\cos 2t)\qquad \left(-\frac{\pi}{4}\le t\le \frac{\pi}{4},\ t\ne 0\right) $$

である。

（1） 点 $R$ の $y$ 座標

線分 $PQ$ の中点を $M$ とすると、

$$ \begin{aligned} M\left(\frac t2,\frac{1+\cos 2t}{2}\right) &= \left(\frac t2,\cos^2 t\right) \end{aligned} $$

である。

また、$PQ$ の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{\cos 2t-1}{t} &= \frac{-2\sin^2 t}{t} \end{aligned} $$

だから、垂直二等分線 $l$ の傾きは

$$ \frac{t}{2\sin^2 t} $$

である。

よって、$l$ の方程式は

$$ \begin{aligned} y-\cos^2 t &= \frac{t}{2\sin^2 t} \left(x-\frac t2\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで $R$ は $y$ 軸上の点なので $x=0$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} y_R &= \cos^2 t-\frac{t^2}{4\sin^2 t} \end{aligned} $$

を得る。

したがって、点 $R$ の $y$ 座標は

$$ \cos^2 t-\frac{t^2}{4\sin^2 t} $$

である。

（2） 円 $C$ の半径の極限

曲線 $K$ は

$$ y=\cos 2x $$

であるから、その導関数は

$$ y'=-2\sin 2x $$

である。

したがって、$P=(0,1)$ における接線の傾きは

$$ y'(0)=0 $$

であり、接線は

$$ y=1 $$

である。

円 $C$ は点 $P$ でこの接線と共通な接線をもつので、円の中心は $P$ を通る法線上、すなわち $y$ 軸上にある。

一方、円 $C$ は $P,Q$ を通るから、その中心は線分 $PQ$ の垂直二等分線上にもある。ゆえに円 $C$ の中心は $R$ に一致する。

したがって、半径 $r$ は

$$ r=PR=1-y_R $$

であり、（1） の結果を用いると

$$ \begin{aligned} r &= 1-\left(\cos^2 t-\frac{t^2}{4\sin^2 t}\right) \\ &= \sin^2 t+\frac{t^2}{4\sin^2 t} \end{aligned} $$

となる。

ここで $Q$ が $P$ に限りなく近づくときは $t\to 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \sin^2 t\to 0, \qquad \frac{t^2}{4\sin^2 t} &= \frac14\left(\frac{t}{\sin t}\right)^2 \to \frac14 \end{aligned} $$

より、

$$ r\to \frac14 $$

である。

解説

この問題の要点は、**円の中心の位置を幾何的に特定すること**である。

線分 $PQ$ の垂直二等分線上にあるという条件だけでは中心は定まらないが、さらに「点 $P$ で曲線と共通な接線をもつ」という条件から、中心は $P$ における法線上、すなわち $y$ 軸上にあることが分かる。したがって中心は $R$ に一致する。

すると半径は $PR$ となり、（1） で求めた $R$ の座標をそのまま使って極限を調べればよい。実質的には、点 $P$ における曲線の曲率円の半径を求めていることになる。

答え

**(1)**

点 $R$ の $y$ 座標は

$$ \cos^2 t-\frac{t^2}{4\sin^2 t} $$

である。

**(2)**

円 $C$ の半径 $r$ は

$$ \frac14 $$

に近づく。