解説

方針・初手

分子が $x^2$ で割られて有限値をもつためには、

$$ \sqrt{9-8x+7\cos 2x} $$

が $x=0$ のまわりで

$$ a+bx+O(x^2) $$

と一致していなければならない。したがって、まず平方根の中身を $x=0$ のまわりで展開し、さらに平方根を展開して $a,b$ を定める。

解法1

$\cos 2x$ を $x=0$ のまわりで展開すると、

$$ \cos 2x=1-\frac{(2x)^2}{2}+O(x^4)=1-2x^2+O(x^4) $$

である。したがって、平方根の中は

$$ 9-8x+7\cos 2x =9-8x+7(1-2x^2+O(x^4)) =16-8x-14x^2+O(x^4) $$

となる。

よって

$$ \sqrt{9-8x+7\cos 2x} =\sqrt{16-8x-14x^2+O(x^4)} $$

である。ここで

$$ \sqrt{16+u} =4+\frac{u}{8}-\frac{u^2}{512}+O(u^3) $$

を用いる。$u=-8x-14x^2+O(x^4)$ とおくと、

$$ \frac{u}{8}=-x-\frac{7}{4}x^2+O(x^4) $$

また、

$$ u^2=(-8x-14x^2+O(x^4))^2=64x^2+O(x^3) $$

であるから、

$$ -\frac{u^2}{512} =-\frac{64x^2}{512}+O(x^3) =-\frac{1}{8}x^2+O(x^3) $$

となる。以上より、

$$ \sqrt{9-8x+7\cos 2x} =4-x-\frac{15}{8}x^2+O(x^3) $$

を得る。

したがって、極限が有限となるためには

$$ a=4,\qquad b=-1 $$

でなければならない。

このとき分子は

$$ \sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(4-x) =-\frac{15}{8}x^2+O(x^3) $$

だから、

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(a+bx)}{x^2} =-\frac{15}{8} $$

である。

解法2

$f(x)=\sqrt{9-8x+7\cos 2x}$ とおく。

極限

$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-(a+bx)}{x^2} $$

が有限となるためには、$f(x)$ の $x=0$ における一次近似

$$ f(x)=f(0)+f'(0)x+O(x^2) $$

と $a+bx$ が一致する必要がある。したがって

$$ a=f(0),\qquad b=f'(0) $$

である。

まず、

$$ f(0)=\sqrt{9+7}=4 $$

より

$$ a=4 $$

である。

次に、$g(x)=9-8x+7\cos 2x$ とおくと $f(x)=\sqrt{g(x)}$ なので、

$$ f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} $$

である。ここで

$$ g'(x)=-8-14\sin 2x $$

より、

$$ g'(0)=-8,\qquad g(0)=16 $$

だから、

$$ f'(0)=\frac{-8}{2\cdot 4}=-1 $$

となり、

$$ b=-1 $$

を得る。

さらに、このときの極限値はテイラー展開より

$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)-f'(0)x}{x^2} =\frac{f''(0)}{2} $$

である。

$f''(x)$ は

$$ f''(x)=\frac{g''(x)}{2\sqrt{g(x)}}-\frac{(g'(x))^2}{4(g(x))^{3/2}} $$

であり、

$$ g''(x)=-28\cos 2x $$

だから、

$$ g''(0)=-28 $$

である。よって

$$ f''(0) =\frac{-28}{2\cdot 4}-\frac{(-8)^2}{4\cdot 16^{3/2}} =-\frac{28}{8}-\frac{64}{4\cdot 64} =-\frac{7}{2}-\frac{1}{4} =-\frac{15}{4} $$

したがって、

$$ \frac{f''(0)}{2} =-\frac{15}{8} $$

となる。

解説

この問題の本質は、分子が $x^2$ で割られて有限値をもつためには、分子が $x^2$ の次数以上で $0$ に近づく必要があるという点である。そのため、$\sqrt{9-8x+7\cos 2x}$ の定数項と一次の項を正確に取り出せば、$a,b$ は自動的に決まる。

最も標準的なのは解法1のように展開する方法である。一方、解法2のように「一次近似を一致させる」と見ると、$a=f(0)$、$b=f'(0)$ であることが構造的に分かりやすい。

答え

$$ a=4,\qquad b=-1 $$

このとき、

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(a+bx)}{x^2} =-\frac{15}{8} $$

である。