解説

方針・初手

分母 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ は $x=1,-1$ で $0$ になる。したがって、極限が有限値をもつためには、分子 $f(x)$ も $x=1,-1$ で $0$ にならなければならない。

よって $f(x)$ は $x^2-1$ を因数にもつ。ここから

$$ f(x)=(x^2-1)(px+q) $$

とおいて、与えられた極限条件から $p,q$ を決めればよい。

解法1

極限

$$ \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1}=4,\qquad \lim_{x\to -1}\frac{f(x)}{x^2-1}=2 $$

が有限であるから、まず

$$ f(1)=0,\qquad f(-1)=0 $$

である。

したがって $f(x)$ は $x=1,-1$ を解にもつので、$x^2-1=(x-1)(x+1)$ を因数にもつ。$f(x)$ は3次関数であるから、

$$ f(x)=(x^2-1)(px+q) $$

と表せる。

これを用いると、$x\neq \pm 1$ では

$$ \frac{f(x)}{x^2-1}=px+q $$

となる。よって極限条件はそのまま

$$ p+q=4,\qquad -p+q=2 $$

を意味する。

連立すると、

$$ \begin{aligned} 2q&=6\\ q&=3 \end{aligned} $$

さらに

$$ p=4-q=1 $$

である。

したがって

$$ f(x)=(x^2-1)(x+3) $$

となるので、展開して

$$ \begin{aligned} f(x)&=(x^2-1)(x+3)\\ &=x^3+3x^2-x-3 \end{aligned} $$

を得る。

よって

$$ a=1,\quad b=3,\quad c=-1,\quad d=-3 $$

である。

解説

この問題の要点は、分母が $x=1,-1$ で $0$ になる以上、極限が有限値になるためには分子も同じ点で $0$ になると見ることである。そこから $f(x)$ が $x^2-1$ を因数にもつと分かれば、商は1次式になり、極限条件はその1次式の値を2点で指定しているだけになる。

無理に係数比較を最初から行うより、因数分解の形に直して考える方が速く、見通しもよい。

答え

$$ a=1,\qquad b=3,\qquad c=-1,\qquad d=-3 $$

したがって

$$ [\text{ア}]=1,\quad [\text{イ}]=3,\quad [\text{ウ}]=-1,\quad [\text{エ}]=-3 $$