解説

方針・初手

(1) は積和公式

$$ \sin ax\sin x=\frac12{\cos((a-1)x)-\cos((a+1)x)} $$

で積分する。

(2) は $x\to\pi$ で分母 $\sin x$ が $0$ に近づくので、まず分子 $\sin(ax)$ も $0$ に近づく必要がある。

(3)(4) は、(2) で得られる $a$ の条件を用いて $\sin(a(1-\theta)\pi)$ や $I_a(\theta)$ を簡単化してから極限を求める。

解法1

**(1)**

$$ L=(1-\theta)\pi $$

とおくと、

$$ I_a(\theta)=\int_0^L \sin ax\sin x,dx $$

である。積和公式より

$$ \sin ax\sin x=\frac12{\cos((a-1)x)-\cos((a+1)x)} $$

だから、

$$ I_a(\theta) =\frac12\int_0^L{\cos((a-1)x)-\cos((a+1)x)},dx $$

$$ =\frac12\left[\frac{\sin((a-1)x)}{a-1}-\frac{\sin((a+1)x)}{a+1}\right]_0^L $$

$$ =\frac12\left( \frac{\sin((a-1)(1-\theta)\pi)}{a-1} -\frac{\sin((a+1)(1-\theta)\pi)}{a+1} \right). $$

よって

$$ I_a(\theta) =\frac12\left( \frac{\sin((a-1)(1-\theta)\pi)}{a-1} -\frac{\sin((a+1)(1-\theta)\pi)}{a+1} \right) $$

である。

**(2)**

極限

$$ \lim_{x\to\pi}\frac{\sin ax}{\sin x} $$

が有限な値に収束するには、分母 $\sin x\to0$ に対して分子も $0$ に収束しなければならない。したがって

$$ \sin(a\pi)=0 $$

であり、

$$ a\in\mathbb{Z} $$

でなければならない。しかも $a>1$ である。

このとき、ロピタルの定理を用いると

$$ \lim_{x\to\pi}\frac{\sin ax}{\sin x} =\lim_{x\to\pi}\frac{a\cos ax}{\cos x} =-a\cos(a\pi) =-a(-1)^a $$

となる。これが正になるためには

$$ -a(-1)^a>0 $$

であればよい。$a>0$ であるから、

$$ (-1)^a=-1 $$

すなわち $a$ は奇数である。

したがって条件は

$$ a=2n+1\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

である。

**(3)**

(2) の条件を満たすとき、$a$ は $1$ より大きい奇数である。したがって

$$ \sin(a(1-\theta)\pi)=\sin(a\pi-a\pi\theta) $$

において、$\sin(a\pi)=0,\ \cos(a\pi)=-1$ を用いると

$$ \sin(a(1-\theta)\pi) =\sin(a\pi)\cos(a\pi\theta)-\cos(a\pi)\sin(a\pi\theta) =\sin(a\pi\theta) $$

となる。よって

$$ \lim_{\theta\to+0}\frac{\sin(a(1-\theta)\pi)}{\theta} =\lim_{\theta\to+0}\frac{\sin(a\pi\theta)}{\theta} =a\pi $$

である。

**(4)**

(2) の条件を満たすとき、$a$ は奇数であるから $a-1,\ a+1$ はともに偶数である。よって

$$ \sin((a-1)(1-\theta)\pi)=\sin((a-1)\pi-(a-1)\pi\theta)=-\sin((a-1)\pi\theta), $$

$$ \sin((a+1)(1-\theta)\pi)=\sin((a+1)\pi-(a+1)\pi\theta)=-\sin((a+1)\pi\theta) $$

となる。(1) の式に代入すると

$$ I_a(\theta) =\frac12\left( -\frac{\sin((a-1)\pi\theta)}{a-1} +\frac{\sin((a+1)\pi\theta)}{a+1} \right) $$

を得る。

ここで、$u\ge0$ に対して

$$ u-\frac16u^3\le \sin u\le u-\frac16u^3+\frac1{120}u^5 $$

が成り立つので、$u=(a-1)\pi\theta,\ (a+1)\pi\theta$ とおけば

$$ \pi\theta-\frac{(a-1)^2\pi^3\theta^3}{6} \le \frac{\sin((a-1)\pi\theta)}{a-1} \le \pi\theta-\frac{(a-1)^2\pi^3\theta^3}{6} +\frac{(a-1)^4\pi^5\theta^5}{120}, $$

$$ \pi\theta-\frac{(a+1)^2\pi^3\theta^3}{6} \le \frac{\sin((a+1)\pi\theta)}{a+1} \le \pi\theta-\frac{(a+1)^2\pi^3\theta^3}{6} +\frac{(a+1)^4\pi^5\theta^5}{120} $$

となる。

したがって

$$ -\frac{a\pi^3}{3}\theta^3-\frac{(a-1)^4\pi^5}{240}\theta^5 \le I_a(\theta) \le -\frac{a\pi^3}{3}\theta^3+\frac{(a+1)^4\pi^5}{240}\theta^5 $$

が成り立つ。これを $\theta^3$ で割って $\theta\to+0$ とすると、はさみうちの原理により

$$ \lim_{\theta\to+0}\frac{1}{\theta^3}I_a(\theta) =-\frac{a\pi^3}{3} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、まず (2) で $a$ が奇数でなければならないことを確定させることである。ここが決まると

$$ \sin(a(1-\theta)\pi)=\sin(a\pi\theta) $$

となり、(3) は基本極限そのものになる。

また (4) は、(1) で得た正確な式をそのまま使うのが最も処理しやすい。$a\pm1$ が偶数であることから一次の項が打ち消し合い、三次の項が主項として残るため、極限は $\theta^3$ のオーダーで決まる。

答え

**(1)**

$$ I_a(\theta) =\frac12\left( \frac{\sin((a-1)(1-\theta)\pi)}{a-1} -\frac{\sin((a+1)(1-\theta)\pi)}{a+1} \right) $$

**(2)**

$$ a=2n+1\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

すなわち、$a$ は $1$ より大きい奇数である。

**(3)**

$$ \lim_{\theta\to+0}\frac{\sin(a(1-\theta)\pi)}{\theta}=a\pi $$

**(4)**

$$ \lim_{\theta\to+0}\frac{1}{\theta^3}I_a(\theta)=-\frac{a\pi^3}{3} $$