基礎問題集
数学3 極限「極限」の問題46 解説
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解説
方針・初手
$x=4$ を代入すると分子も分母も $0$ になるので、不定形である。そこで分子を有理化して $x-4$ を約分する。
解法1
$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} &= \frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} \end{aligned} $$
分子は平方差になるから、
$$ \begin{aligned} \frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} &= \frac{x+5-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} \\ \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} \end{aligned} $$
よって、$x\ne 4$ では
$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} &= \frac{1}{\sqrt{x+5}+3} \end{aligned} $$
したがって、
$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} &= \lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3} \\ \frac{1}{\sqrt{9}+3} \\ \frac{1}{6} \end{aligned} $$
解説
$\sqrt{x+5}-3$ をそのまま扱うと、$x=4$ で $0/0$ の不定形になる。平方根を含む式の極限では、共役な式を掛けて有理化するのが基本手法である。この操作によって分子が $x-4$ となり、分母の $x-4$ と約分できるため、最後は直接代入できる形になる。
答え
$$ \frac{1}{6} $$