解説

方針・初手

$a$ を固定して考えるのが基本である。

$a$ が決まると、$b$ は $a$ 以上 $m+1$ 以下の整数、$c$ は $a+1$ 以上 $2m$ 以下の整数であるから、$b$ の選び方と $c$ の選び方は独立に数えられる。したがって、まず固定した $a$ に対する個数を求め、それを $a$ について合計すればよい。

解法1

**(1)**

条件は

$$ 1\leqq a\leqq b\leqq 2,\qquad 1\leqq a<c\leqq 2 $$

である。

まず $a=1$ のとき、$b$ は $1,2$ の2通り、$c$ は $2$ の1通りである。したがって

$$ (a,b,c)=(1,1,2),(1,2,2) $$

の2組を得る。

次に $a=2$ のとき、$a<c\leqq 2$ を満たす $c$ は存在しない。

よって、求める組は

$$ (1,1,2),\ (1,2,2) $$

である。

**(2)**

条件は

$$ 1\leqq a\leqq b\leqq 3,\qquad 1\leqq a<c\leqq 4 $$

である。

• （i） $a=1$ のとき

$b$ は $1,2,3$ の3通り、$c$ は $2,3,4$ の3通りであるから、個数は

$$ 3\times 3=9 $$

である。

• （ii） $a=2$ のとき

$b$ は $2,3$ の2通り、$c$ は $3,4$ の2通りであるから、個数は

$$ 2\times 2=4 $$

である。

• （iii） $a=3$ のとき

$b$ は $3$ の1通り、$c$ は $4$ の1通りであるから、個数は

$$ 1\times 1=1 $$

である。

よって、それぞれの個数は

$$ a=1\text{ のもの }9\text{ 個},\quad a=2\text{ のもの }4\text{ 個},\quad a=3\text{ のもの }1\text{ 個} $$

である。

**(3)**

条件は

$$ 1\leqq a\leqq b\leqq m+1,\qquad 1\leqq a<c\leqq 2m $$

である。

$a$ を固定すると、$b$ の選び方は

$$ m+1-a+1=m+2-a $$

通り、$c$ の選び方は

$$ 2m-(a+1)+1=2m-a $$

通りである。

したがって、固定した $a$ に対する組 $(a,b,c)$ の個数は

$$ (m+2-a)(2m-a) $$

である。ゆえに

$$ M(m)=\sum_{a=1}^{m+1}(m+2-a)(2m-a) $$

となる。

これを展開すると

$$ \begin{aligned} M(m) &=\sum_{a=1}^{m+1}\left\{2m^2+4m-(3m+2)a+a^2\right\} \\ &=(m+1)(2m^2+4m)-(3m+2)\sum_{a=1}^{m+1}a+\sum_{a=1}^{m+1}a^2 \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \sum_{a=1}^{m+1}a=\frac{(m+1)(m+2)}{2},\qquad \sum_{a=1}^{m+1}a^2=\frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6} $$

を用いると

$$ \begin{aligned} M(m) &=(m+1)(2m^2+4m) -(3m+2)\frac{(m+1)(m+2)}{2} +\frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6} \\ &=\frac{(m+1)(m+2)(5m-3)}{6} \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ M(m)=\frac{(m+1)(m+2)(5m-3)}{6} $$

である。

また、

$$ \frac{M(m)}{m^3} =\frac{(m+1)(m+2)(5m-3)}{6m^3} $$

より、$m\to\infty$ とすると各因子の最高次だけを見ればよいから

$$ \lim_{m\to\infty}\frac{M(m)}{m^3} =\frac{5}{6} $$

である。

**(4)**

$67$ は素数であり、$6$ は $67$ の倍数ではないから、$M(m)$ が $67$ の倍数であることと

$$ (m+1)(m+2)(5m-3) $$

が $67$ の倍数であることは同値である。

よって

$$ (m+1)(m+2)(5m-3)\equiv 0 \pmod{67} $$

より、次のいずれかが成り立てばよい。

$$ m+1\equiv 0\pmod{67},\qquad m+2\equiv 0\pmod{67},\qquad 5m-3\equiv 0\pmod{67} $$

前二者から

$$ m\equiv 66,\ 65 \pmod{67} $$

を得る。

また、$5^{-1}\equiv 27\pmod{67}$ であるから、

$$ 5m-3\equiv 0\pmod{67} $$

より

$$ m\equiv 3\cdot 27=81\equiv 14\pmod{67} $$

となる。

したがって最小の正の整数は

$$ m=14 $$

である。

解説

この問題の本質は、$a$ を固定すると $b$ と $c$ の取り方が独立に数えられる点にある。したがって、各 $a$ に対して

$$ (\text{$b$ の個数})\times(\text{$c$ の個数}) $$

を求めて足し合わせればよい。

（1）、（2） はその考え方の確認であり、（3） で一般化して総和に落とし込む流れである。（4） は求めた公式を合同式で処理するだけであり、$67$ が素数で $6$ と互いに素であることを使うのが要点である。

答え

**(1)**

$$ (a,b,c)=(1,1,2),\ (1,2,2) $$

**(2)**

$$ a=1\text{ のもの }9\text{ 個},\quad a=2\text{ のもの }4\text{ 個},\quad a=3\text{ のもの }1\text{ 個} $$

**(3)**

$$ M(m)=\frac{(m+1)(m+2)(5m-3)}{6} $$

$$ \lim_{m\to\infty}\frac{M(m)}{m^3}=\frac{5}{6} $$

**(4)**

$$ m=14 $$