解説

方針・初手

極限

$$ \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-a}{x-1} $$

が実数 $b$ として存在するためには、分母 $x-1$ が $x\to 1$ で $0$ に近づくので、分子 $\sqrt{x+3}-a$ も同時に $0$ にならなければならない。まずこの条件から $a$ を定め、その後に極限値 $b$ を計算する。

解法1

$b$ が実数であるから、与えられた極限は有限確定値をもつ。

したがって $x\to 1$ のとき分母 $x-1\to 0$ である以上、分子も $0$ にならなければならない。よって

$$ \sqrt{1+3}-a=0 $$

すなわち

$$ 2-a=0 $$

であるから、

$$ a=2 $$

となる。

そこで極限は

$$ \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} $$

となる。ここで分子を有理化すると、

$$ \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} =\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} =\frac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} =\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} $$

より、

$$ \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} =\frac{1}{\sqrt{x+3}+2} $$

である。したがって

$$ b=\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2} =\frac{1}{2+2} =\frac14 $$

となる。

解説

この問題の要点は、分母が $0$ に近づくときに極限が有限値をもつためには、分子も同じ点で $0$ になる必要がある、という基本事項である。

$a$ を先に決めずにいきなり計算しようとすると処理が止まるが、まず「極限が存在する条件」を見ることで $a$ がただちに決まる。その後は有理化によって標準的に求められる。

答え

$$ a=2,\qquad b=\frac14 $$