解説

方針・初手

$x \to -\infty$ では $x$ が負になるので、$\sqrt{x^2+3x}$ をそのまま $x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$ と置くと符号を誤りやすい。したがって、まず共役を用いて式を変形するのが安全である。

解法1

求める極限を

$$ L=\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right) $$

とおく。

ここで共役をかけると、

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+3x}+x &= \frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}-x} \\ \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ L=\lim_{x\to -\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x} $$

である。

$x\to -\infty$ のとき $x<0$ であるから、$\sqrt{x^2}=|x|=-x$ を用いて

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+3x} &= \sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}\right)} \\ |x|\sqrt{1+\frac{3}{x}} \\ -x\sqrt{1+\frac{3}{x}} \end{aligned} $$

となる。したがって分母は

$$ \begin{aligned} \sqrt{x^2+3x}-x &= -x\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x \\ -x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} L = \\ \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{-x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)} &= \lim_{x\to -\infty} \frac{-3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} \end{aligned} $$

となる。ここで $x\to -\infty$ なら $\frac{3}{x}\to 0$ であるから、

$$ L=\frac{-3}{\sqrt{1+0}+1}=-\frac{3}{2} $$

よって極限値は $-\dfrac{3}{2}$ である。

解説

この問題の要点は、$x\to -\infty$ であるため $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ となることである。ここを見落として $\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$ とすると符号を誤る。

そのため、まず共役で変形してから $\sqrt{x^2}=|x|$ を丁寧に処理すると確実である。$x\to +\infty$ の場合と同じ感覚で処理しないことが重要である。

答え

① $-\dfrac{3}{2}$